Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

32
экстремума функции ),( yxfz ;
г) если ),(
000
yxM – стационарная точка функции ),( yxfz
и
0D
, то
0
M –
точка максимума;
д) если ),(
000
yxM – стационарная точка функции ),( yxfz и 0D ,
0),(
00
//
yxf
xx
, то
0
M – точка минимума.
1.7.2. Задачи
Образцы решения задач
Задача 1.1. Найти производные сложной функции
)2ln(
22
vuuvz ,
где
yxv
y
x
u sin,
2
.
Решение. Выполняя действия в соответствии с формулами
,
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
,
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
получим
,sin
2
221
2
4
22
2
222
2
y
vuuv
uuv
yvuuv
uvv
x
z
.cos
2
222
2
4
22
2
322
2
yx
vuuv
uuv
y
x
vuuv
uvv
y
z
Вместо u и v подставим их выражения через x и y. После несложных преобразований
получаем
,
3
xx
z
.
)2sin(sin
cos2sin8)sincos(sin2
2
2
yyyy
yyyyyyyy
y
z
Задача 1.2. Продифференцировать сложную функцию
,
23
yzxu
где
,sin tx ,ty .
2
tz
Решение. Так как u является функцией одной независимой переменной t, то задача
заключается в вычислении обыкновенной производной
dt
du
. По формуле
dt
dz
z
u
dt
dy
y
u
dt
dx
x
u
dt
du
находим
.22
2
1
cos3
32322
tyzx
t
zxtyzx
dt
du
Подставляя вместо x, y, z их выражения через t, будем иметь
).sin9cos6(sin
2
1
sin4
2
sincossin3
2333
4
342
ttttttttt
t
t
ttttt
dt
du

Страницы