Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

34
Задача 4. Найти экстремумы функции
yxyxz 646422
44
.
Решение. Сначала найдем стационарные точки данной функции. Для этого составим
систему уравнений
.0648
0648
3
3
yz
xz
y
x
Система имеет единственное решение x = 2, y = 2, следовательно, функция имеет одну
стационарную точку М(2,2). Далее воспользуемся достаточным признаком экстремума
(теорема 1.3.2). Найдем частные производные второго порядка:
,24
2"
xz
xx
,0
"
xy
z .24
2"
yz
yy
Следовательно, ,96)2,2(
"
xx
zA
,0)2,2(
"
xy
zB
,96)2,2(
"
yy
zC
.0)96(
22
BACD
Так как ,096 A то по теореме 1.3.2 в точке М(2,2) функция
yxyxz 646422
44
имеет минимум, равный
.192)2,2(
min
zz
Задача 5. Найти условные экстремумы функции
1
yxz
при .06
33
xxyy
Решение. Составим функцию Лагранжа
),,(),(),,( yxyxfyxL

где z = f(x,y) – исследуемая функция,
(x,y) = 0 – уравнение связи, λ – параметр. В данном
случае f(x,y) = x + y – 1,
(x,y) = y
3
– 6xy + x
3
, поэтому функция Лагранжа имеет вид
).6(1),,(
33
xxyyyxyxL
В точках условного экстремума
.06
0)36(1
0)36(1
33
2
2
xxyyL
yxL
xyL
y
x
Исключая λ из первого и второго уравнений системы, получим:
.
)2(3
1
)2(3
1
22
yxxy
Отсюда
,22
22
yxxy или ).)(()(2 yxyxxy
Рассмотрим два случая:
1.
x – y = 0; подставляя y = x в третье уравнение системы, получаем: ,062
23
xx или
,0)3(2
2
xx следовательно, ,0
1
x .3
2
x Так как y = x , то ,0
1
y .3
2
y Если x = 0,
y = 0, то система несовместна при любом λ. Если x = 3, y = 3, то
.
9
1
2.
–2 = x + y; подставляя y = –2 – x в третье уравнение системы, будем иметь
,0612)6128(,0)2(6)2(
323233
xxxxxxxxxx
или 08 , что невозможно.

Страницы