Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

54
Название «сферические координаты» связано с тем, что координатная поверхность
ρ = const является сферой. Сферические координаты иначе называют полярными
координатами в пространстве.
При вычислении тройного интеграла путем перехода к цилиндрическим или
сферическим координатам область Т* обычно не изображают, а пределы интегрирования
расставляют непосредственно по виду области Т, используя геометрический смысл новых
координат. Выбор новой системы координат зависит как от области интегрирования Т, так и
от вида подынтегральной функции ),,( zyxf .
Пример 2.2.2. Вычислить интеграл

Т
dxdydzyxz
22
, где Т – область,
ограниченная поверхностями 1 и
22
zyxz (рис. 2.18).
Решение. Проекцией области Т на плоскость Оху является круг 1
22
ух , поэтому
координата
изменяется от 0 до 2π, координата r – от r = 0 до r = 1. Снизу область Т
ограничена поверхностью
22
yxz , сверху – плоскостью 1
z
, поэтому координата z
изменяется от
1 до
2
zrz . Применяя формулу (2.27), имеем
22
1
211 21
2
22 2
00 00
1
21 2 2
37
24
00 0 0
0
2
11 24
(1 ) .
2 2 3 7 21 21
T
rr
z
zx ydxdydz d drzrrdr d r dr
rr
dr rdr d d



















Пример 2.2.3. Найти объем шара радиуса R с помощью тройного интеграла.
Решение. Поместим начало декартовой прямоугольной системы координат в центре
шара Т и перейдем к сферическим координатам. Из вида области Т (рис. 2.19) следует, что
координаты
,,
меняются в следующих пределах: ρ – от 0 до R, φ – от 0 до 2π,
– от
2
до
2
. По формуле (2.28) искомый объем шара

.
3
4
3
4222sin
coscos
3
0
3
0
2
2
0
2
0
2
0
2/
2/
2
0
2/
2/
2
2
00*
2
Rddddd
dddddddxdydzV
R
RRR
R
TT

O
T
1
z
х
Рис. 2.18
у
R
O
z
М'
ρ
Ө
φ
Т
Рис. 2.19
х
у

Страницы