ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
55
2.2.3. Приложения тройного интеграла
Кратко рассмотрим типичные задачи применения тройных интегралов, ограничившись
приведением необходимых формул, так как их вывод аналогичен выводу соответствующих
формул в случае двойных интегралов.
Как уже было отмечено в п. 2.2.1, объем V пространственной области Т равен
T
dxdydzV
.
Пусть область Т занимает материальное тело с плотностью ),,( zyx
, представляющей
собой непрерывную функцию. Тогда координаты центра масс тела определяются
следующими формулами:
M
dxdydzzyxz
z
M
dxdydzzyxy
M
dxdydzzyxx
x
T
c
TT
c
),,(
,
),,(
y ,
),,(
c
, (2.29)
где
Т
dxdydzzyxM ),,(
– масса данного тела.
В частности, если рассматриваемое тело однородное, т. е. γ(x, y, z) = const, то
выражения для координат центра масс упрощаются и принимают вид
, ,y ,
c
V
zdxdydz
z
V
ydxdydz
V
xdxdydz
x
T
c
TT
c
где V – объем данного тела.
Величины
TTT
xyxzyz
dxdydzzyxzMdxdydzzyxyMdxdydzzyxxM ),,( , ),,( ,),,(
в формулах (2.29) называются статическими моментами относительно координатных
плоскостей Оуz, Oxz и Оху соответственно.
Моменты инерции тела относительно осей координат определяются следующими
формулами:
T
x
dxdydzzyxyzJ ),,()(
22
,
T
y
dxdydzzyxxzJ ),,()(
22
,
T
z
dxdydzzyxyxJ ),,()(
22
.
Момент инерции относительно начала координат:
T
zyx
JJJdxdydzzyxzyxJ 2/)(),,()(
222
0
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- …
- следующая ›
- последняя »
