Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

62
2.6.2. Задачи
Образцы решения задач
Задача 1. Вычислить
. , ,1: ;)259(
24422

D
xyxyxDdxdyyxyx
Решение. Строим область D (рис. 2.20). Для
вычисления двойного интеграла в данном случае
более удобной является формула (2.4)
.),(),(
)(
)(
2
1

x
x
b
aD
dyyxfdxdxdyyxf
Если в повторном интеграле внешний
интеграл взять по у, а внутренний по х (см.
формулу (2.5)), то область интегрирования
придется разбивать на две части, так как линию,
ограничивающую область D слева, нельзя
представить одним уравнением.
Найдем пределы интегрирования. Проекцией области D на ось Ох является отрезок
]1 ,0[
. Значит, a = 0, b = 1. Снизу область D ограничена параболой
2
xy , сверху –
параболой
xy , т. е. xxxx )( ,)(
2
2
1
. Следовательно,
.2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
)5353(
53)259()259(
1
0
159
2
15
2
9
1
0
148
2
13
2
7
1
0
54324422
1
0
4422
2
2

xxxxdxxxxx
dxyxyxdyyxyxdxdxdyyxyx
x
x
x
x
D
Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
).0( 0 ,164 ,16
22
xxxyxy
Решение. Преобразуем уравнение первой линии: ,16
2
xy
16 ,16
2222
yxxy . Значит, линия – окружность радиусом R = 4 с центром в точке
О(0, 0). Точнее, верхняя половина окружности, так как перед радикалом стоит знак «+»
)0( у . Преобразуем уравнение второй линии:
16)4( ,16)4( ,164
22222
yxxyxy .
Данная линия – нижняя половина окружности радиуса R = 4 с центром в точке А(0, 4).
Линия х = 0 – прямая, совпадающая с осью Оу. Фигура изображена на рис. 2.21.
O
у
х
xy
2
xy
–1
1
Рис. 2.20
D
1
2
4 xy
y
x
O
B
A
–4 4
D
2
16
x
y
2
164 xy
Рис. 2.21

Страницы