Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

64
Задача 4. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:
1 ,0 ,5 ,5 zxzxyxy .
Решение. Для вычисления объема воспользуемся формулой

T
dxdydzV .
При переходе от тройного интеграла к повторному сначала проинтегрируем по z, затем по у
и, наконец, по
х. Снизу тело Т ограничено плоскостью z = 0, сверху – тоже плоскостью
z = 1 – x. Проекцией тела Т на плоскость Оху является область D (рис. 2.23).
Найдем абсциссу точки А – точки пересечения линий 5xy и xy 5 . Решая
систему уравнений
xy
xy
5
5
, находим
х = 0 и х = 1, откуда х
А
= 1. Значит, переменная х
изменяется от 0 до 1, переменная
у – от значения на прямой 5xy до значения на
параболе
xy 5 .
Таким образом, имеем
.
10
5
3
1
2
1
5
2
3
2
5
325
2
3
2
5
)(5)55)(1(
)1(
32
2523
1
0
2
1
0
5
5
1
0
1
0
5
5
1
0

xx
xx
dxxxxxxdxxxx
dyxdxdzdydxdxdydzV
x
x
xx
x
T
Задача 5. Тело Т задано ограничивающими его поверхностями: x
2
+ y
2
= z
2
, x
2
+ y
2
= z,
x = 0, y = 0 )0у ,0( х . Плотность z24
. Найти массу тела.
Решение. Сделаем чертеж (рис. 2.24). Найдем уравнение линии пересечения
поверхностей:
x
2
+ y
2
= z
2
, x
2
+ y
2
= z. Исключая из этих уравнений x
2
+ y
2
, получаем z
2
= z,
откуда
z = 1, т. е. x
2
+ y
2
= 1 (случай z = 0 дает единственную точку х = у = z = 0).
Значит, линией пересечения поверхностей является окружность
x
2
+ y
2
= 1, z = 1,
поэтому в проекции тела
Т на плоскость Оху получается область D – четверть круга
(рис. 2.24) с границей
x
2
+ y
2
= 1.
Массу тела
Т находим по формуле

T
dxdydzzyxM ),,(
.
Вычисление тройного интеграла упрощается, если
перейти к цилиндрическим координатам:
,sin ,cos
ryrx
zz
. Поверхность x
2
+ y
2
= z в
цилиндрических координатах имеет уравнение
z = r
2
,
поверхность
22
yxz
– уравнение z = r,
следовательно,
z изменяется от r
2
до r. Переменная r
изменяется от 0 до 1, переменная
φ – от 0 до π/2
(рис. 2.24). Поэтому
2)(1224
2
0
1
0
42
2
0
1
0
2
0
2
ddrrrrdzdzrdrdM
r
r
.
x
2
+ y
2
= 1
у
z
х
О
D
Рис. 2.24

Страницы