Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

67
ГЛАВА 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3.1. Криволинейные интегралы
Криволинейные интегралы являются обобщением определенного интеграла на случай,
когда областью интегрирования является некоторая плоская или пространственная кривая.
Различают два типа криволинейных интегралов: криволинейные интегралы первого и
второго рода.
3.1.1. Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла
первого рода
К понятию криволинейного интеграла первого рода приводят различные физические
задачи, например, задача о вычислении массы материальной линии.
Пусть на некоторой плоской кривой
AB непрерывно распределена масса.
Предположим, что кривая
AB гладкая или кусочно-гладкая. Здесь и в дальнейшем кривую
будем называть
гладкой, если в каждой ее точке существует касательная, и при переходе от
точки к точке положение этой касательной меняется непрерывно.
Кусочно-гладкой кривой
называется непрерывная кривая, составленная из конечного числа гладких кривых.
Найдем массу m материальной кривой
AB, если известна плотность γ кривой в каждой
ее точке
M(x, y), т. е. γ = γ(x, y), где γ(x, y) – непрерывная функция вдоль кривой AB.
Непрерывность функции
γ(x, y) = γ(M) вдоль кривой AB означает, что

0
0
lim MM
MM
в
любой точке
M
0
кривой AB, где М также точка этой кривой.
Разобьем кривую
AB произвольно на n частей точками А = А
0
, А
1
, А
2
, …, А
n–1
, А
n
= В
(рис. 3.1).
Рис. 3.1
На каждой из дуг А
i–1
А
i
(i = 1, 2, …, n) произвольно выберем точку М
i
(x
i
, y
i
) и найдем в
этих точках плотность
γ(x
i
, y
i
). Массу m
i
дуги А
i–1
А
i
можно считать приближенно равной
γ(x
i
, y
i
)Δs
i
, где Δs
i
– длина дуги А
i–1
А
i
. Суммируя массы всех дуг разбиения, получим
приближенное значение массы m кривой
AB:

n
i
iii
syxm
1
,
. (3.1)
О
x
y
A
= A
0
M
1
M
2
A
1
A
2
A
n
–
1
M
n
B
= A
n

Страницы