Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

69
Криволинейный интеграл первого рода, так же как и определенный интеграл, имеет
геометрический смысл. Если определенный интеграл

dsxf
b
a
при f(x)≥0 представляет собой
площадь криволинейной трапеции, то криволинейный интеграл

AB
dsyxf ,
при f(x,y)≥0
численно равен площади цилиндрической поверхности, которая составлена из
перпендикуляров к плоскости
Оху, восстановленных в точках М(х, у) кривой АВ и имеющих
переменную длину
f(x, y) (рис. 3.2).
Рис. 3.2
В частности, если

1, yxf , то
AB
lds , где l – длина кривой АВ.
3.1.3. Вычисление криволинейного интеграла первого рода
Вычисление криволинейных интегралов первого рода сводится к вычислению
определенных интегралов.
Пусть кривая
АВ задана параметрическими уравнениями
x = x(t), y = y(t) (α ≤ t ≤ β).
Для определенности будем считать, что точке А соответствует значение t = α, точке
В – значение t = β. Тогда криволинейный интеграл выражается через определенный интеграл
по формуле



dtyxtytxfdsyxf
tt
AB
22
,,
. (3.4)
В частности, если кривая АВ задана уравнением y = y(х), а ≤ х ≤ b, то, принимая х за
параметр (
t = x), из формулы (3.4) получаем



b
a
x
AB
dxyxyxfdsyxf
2
1,,
. (3.5)
y
B
A
x
z
M
(x,y)
z
= f(x,y)

Страницы