Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

71
На каждой дуге А
i–1
А
i
выберем произвольно точку М
i
(ξ
i
, η
i
) и найдем в ней значение
силы

iii
QPF , , где P
i
= P(ξ
i
, η
i
), Q
i
= Q(ξ
i
, η
i
). На каждом участке А
i-1
А
i
заменим
переменную силу
F ее постоянным значением
i
F , а движение точки по дуге А
i–1
А
i
заменим
движением по отрезку А
i–1
А
i
. Тогда приближенное значение работы W
i
на i-м участке можно
записать в виде скалярного произведения векторов
i
F и
ii
AA
1
, т. е.
iiii
AAFW
1
,
, (3.6)
где

iiii
yxAA
,
1
– вектор перемещения, а
1
iii
xxx ,
1
iii
yyy . С учетом того,
что скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих
координат, представим (3.6) в виде
iiiii
yQxPW
.
Суммируя полученные частичные работы, найдем приближенно полную работу W силы
F вдоль кривой АВ:

n
i
iiii
n
i
i
yQxPWW
11
. (3.7)
За точное значение работы W принимается предел, к которому стремится ее приближенное
значение (3.7) при стремлении к нулю наибольшей из длин дуг А
i–1
А
i
, т. е.
 

n
i
iiiiii
yQxPW
1
0
,,lim
, (3.8)
где

,max
1
i
ni
s
Δs
i
– длина дуги А
i–1
А
i
.
Перейдем теперь к понятию криволинейного интеграла второго рода. Пусть на
плоскости Оху задана гладкая или кусочно-гладкая кривая АВ, в каждой точке которой
определены две непрерывные функции P(x, y) и Q(x, y). Разобьем кривую АВ на n частей
точками А
i
(x
i
, y
i
) (i = 0, 1, ..., n), A
0
= A, A
n
= B. Обозначим через Δх
i
и Δу
i
– проекции дуги
А
i–1
А
i
на оси координат (рис. 3.3), при этом под проекциями дуги будем понимать проекции
хорды этой дуги, т. е.
1
iii
xxx ,
1
iii
yyy . На каждой дуге А
i–1
А
i
возьмем
произвольную точку М
i
(ξ
i
, η
i
) и составим интегральную сумму
 

n
i
iiiiii
yQxP
1
,,
. (3.9)
Определение 3.1.2. Если при λ → 0 интегральная сумма (3.9) имеет предел, который не
зависит ни от способа разбиения кривой АВ на части, ни от выбора точек М
i
, то этот предел
называется криволинейным интегралом второго рода от функций P(x, y) и Q(x, y) по кривой
АВ и обозначается символом
dyyxQdxyxP
AB
,,
. (3.10)
Таким образом, по определению
 

n
i
iiiiii
AB
yQxPdyyxQdxyxP
1
0
,,lim,,
.

Страницы