Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

73
Пример 3.1.3. Вычислить интеграл
AB
xydydxx
2
, где АВ – четверть эллипса: ta
x
cos
,
tby sin ,
2
0
t .
Решение. Так как tbtytatx cos)(,sin)(
, то по формуле (3.11) получаем



AB
tdttaabdttbtbtatataxydydxx
2
0
2
0
232222
cossincossincos)sin(cos



.
33
cos
22
2
0
3
22
abat
aba
Пример 3.1.4. Вычислить интеграл
AB
dyxydxx 13
32
, где
1. АВ – прямая y = x, соединяющая точки (0,0) и (1,1).
2. АВ – парабола y = x
2
, соединяющая те же точки.
3. АВ – ломаная, проходящая через точки (0,0), (1,0), (1,1) (рис. 3.4).
Решение. Согласно формуле (3.12) имеем:
1.
2)()14()1(3
1
0
4
1
0
332
xxdxxdyxydxx
AB
.
2.

2)()25(2)1(3)1(3
1
0
25
1
0
1
0
43432

xxdxxxdxxxxdyxydxx
AB
.
3.
22)11(03)1(3
1
0
1
0
1
0
232
dydydxxdyxydxx
AB
.
Итак, взяв три различных пути, соединяющих одни и те же
точки, мы получим три одинаковых результата. Это
обстоятельство не является случайным. Причина его будет
раскрыта в п. 3.1.6.
В заключение заметим, что криволинейные интегралы
были рассмотрены для плоских кривых. Однако их определение
нетрудно перенести и на пространственные кривые.
Пусть АВ – пространственная кривая
и на этой кривой
заданы функции f(x,y,z), P(x,y,z), Q(x,y,z) и R(x,y,z). Тогда по
аналогии со случаем плоской кривой можно определить криволинейный интеграл первого
рода
AB
dszyxf ),,( и криволинейный интеграл второго рода
AB
z)dzy,R(x, z)dy y,Q(x,z)dxy,(x,P . Техника вычисления таких интегралов не отличается по
существу от техники вычисления соответствующих интегралов по плоской кривой.
3.1.6. Формула Грина
Формула Грина устанавливает связь между двойным интегралом по некоторой плоской
области D и криволинейным интегралом по границе С этой области.
Докажем эту формулу для ограниченной замкнутой области, граница которой
пересекается с прямыми, параллельными осям координат, не более чем в двух точках. Для
краткости будем называть такие области правильными. Линию, ограничивающую область
,
будем предполагать гладкой или кусочно-гладкой.
y
x
B
О
A
1
1
Рис.3.4

Страницы