Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

75
Аналогично доказывается, что

DC
Qdydxdy
x
Q
. (3.17)
Вычитая (3.16) из (3.17), получим формулу (3.13).
Замечание. Формула Грина остается справедливой для всякой ограниченной
замкнутой области D, которую можно разбить проведением дополнительных линий на
конечное число правильных областей. Действительно, пусть область D с границей С имеет
вид, изображенный на рис. 3.6. Разобьем ее на две правильные области D
1
и D
2
, для каждой
из которых справедлива формула (3.13). Запишем формулу Грина для каждой из областей D
1
и D
2
и сложим почленно полученные равенства. Слева будем иметь двойной интеграл по
всей области D, а справа – криволинейный интеграл по контуру С, так как криволинейные
интегралы по вспомогательной кривой при суммировании взаимно уничтожаются.
Более того, можно доказать, что формула Грина справедлива для области D,
ограниченной произвольной гладкой или кусочно-гладкой кривой
С.
Пример 3.1.5. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл
С
dyyxdxyx )()(, где С – окружность
222
Ryx .
Решение. Функции P(x,y) = x – y, Q(x,y) = x+y и их производные 1
y
P
,
1
x
Q
непрерывны в замкнутом круге D:
222
Ryx . Следовательно, применима формула Грина,
согласно которой имеем:
 
DDС
RSdxdydxdydyyxdxyx
2
22211)()(
.
Выведем, используя формулу Грина, формулы для вычисления площади произвольной
области D с помощью криволинейного интеграла.
Если P(x,y) = – y, Q(x,y) = 0, то
1
y
P
,
0
x
Q
и формула (3.13) примет вид

CD
dyydxdxdy 0)10(, откуда
C
ydxS , (3.18)
где S – площадь области D. Аналогично, полагая P(x,y) = 0, Q(x,y) = x, будем иметь:
C
xdyS . (3.19)
Из (3.18) и (3.19), как следствие, получим еще одну формулу
C
ydxxdyS
2
1
. (3.20)
Любая из формул (3.18)–(3.20) позволяет вычислять площадь фигуры с помощью
криволинейного интеграла.

Страницы