Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

76
Пример 3.1.6. Найти площадь S плоской фигуры, ограниченной эллипсом
1:
2
2
2
2
b
y
a
x
C .
Решение. Параметрические уравнения эллипса имеют вид x = a cos t, y = b sin t, где
параметр t изменяется в пределах от 0 до 2 π. По формуле (3.19), используя выражение
криволинейного интеграла через определенный интеграл (3.11), находим:
ab
t
t
ab
dtt
ab
tdtabtdtbtaxdyS
C


2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
2sin
2
)2cos1(
2
coscoscos .
3.1.7. Условие независимости криволинейного интеграла от пути
интегрирования
Пусть задана плоская область D и в ней определены непрерывные функции P(x,y) и
Q(x,y). Выясним, при каких условиях криволинейный интеграл
AB
dyyxQdxyxP ),(),( (3.21)
при произвольно фиксированных точках А
D и В
D не зависит от выбора кривой АВ,
соединяющей эти точки и лежащей в области D.
Лемма. Для того чтобы интеграл (3.21) не зависел от пути интегрирования, необходимо
и достаточно, чтобы:
L
dyyxQdxyxP 0),(),(
, (3.22)
где L – произвольный замкнутый контур, лежащий в области D.
Доказательство. Пусть для любого замкнутого контура L D выполняется равенство
(3.22). Рассмотрим в области D два произвольных пути, соединяющих точки А и В: АМВ и
АNВ – любые гладкие или кусочно-гладкие кривые (рис. 3.7). Объединение этих кривых
является замкнутым контуром L =ANB
BMA. Согласно условию (3.22)
L
0QdyPdx
, но

L ANB AMBBMAANB
QdyPdx-QdyPdxQdyPdxQdyPdxQdyPdx , следовательно,
,

AMB ANB
QdyPdxQdyPdx т. е. криволинейный интеграл
AB
QdyPdx
не зависит от пути
интегрирования при фиксированных А
D и В
D.
Рис. 3.7
Обратно, пусть
АВ
QdyPdx не зависит от пути интегрирования в указанном смысле и
задан произвольный замкнутый контур L
D. Выберем на нем две точки А и В, разбивающие
L на две части: кривые АNВ и ВМА (рис. 3.7). По условию

AMB ANB
QdyPdxQdyPdx .
Отсюда

BMA ANB AMBANBL
QdyPdx 0.
M
A
N
B

Страницы