Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

78
3.2. Поверхностные интегралы
В этом подразделе будут рассмотрены интегралы от функций, заданных на
поверхности, так называемые поверхностные интегралы. Теория поверхностных интегралов
во многом аналогична теории криволинейных интегралов. Различают поверхностные
интегралы первого и второго родов.
3.2.1. Поверхностный интеграл первого рода
Определим сначала класс рассматриваемых в дальнейшем поверхностей.
Определение 3.2.1. Касательной плоскостью P к поверхности S в ее точке М
0
(точка
касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным
на поверхности через эту точку (рис. 3.8).
Определение 3.2.2. Поверхность S
называется гладкой, если в каждой ее точке
существует касательная плоскость, и при
переходе от точки к точке положение этой
плоскости меняется непрерывно.
Поверхность, состоящая из конечного числа
гладких кусков, называется кусочно-гладкой.
Например, сфера является гладкой
поверхностью; поверхность кругового
цилиндра, поверхность параллелепипеда
дают примеры кусочно-гладких
поверхностей.
.),,(
1
iiii
n
i
zyxf
(3.23)
Сумма (3.23) называется интегральной суммой для функции ),,( zyxf по поверхности
S. Обозначим через λ наибольший из диаметров частей поверхности, т. е.
λ =
ni1
max
.)(
i
d
Определение 3.2.3. Если при λ
0
интегральная сумма (3.23) имеет предел, который
не зависит ни от способа разбиения поверхности S на части, ни от выбора точек М
i
, то этот
предел называется поверхностным интегралом первого рода от функции
),,( zyxf по
поверхности S и обозначается символом

S
dzyxf ,),,(
(3.24)
т. е.
S
n
i
i
zyxfdzyxf
1
0
),,(lim),,(
.
Данное определение по сути аналогично определению двойного интеграла, поэтому
свойства двойных интегралов без особых изменений переносятся на поверхностные
интегралы (3.24).
В частности, если f(x, y, z) 1, на поверхности S, то
00
1
lim lim ,
n
i
i
S
d





P
S
M
0
Рис. 3.8
Введем понятие поверхностного интеграла первого рода. Пусть на гладкой или
кусочно-гладкой поверхности S определена непрерывная функция u = f(x,y,z). Разобьем
поверхность S произвольно на n частей σ
1
, σ
2
, … ,σ
n
с площадями Δσ
1,
Δσ
2
, … , Δσ
n
. Выбрав
на каждой частичной поверхности произвольную точку М
i
(x
i
,y
i
,z
i
) (М
i
σ
i
), составим сумму

Страницы