ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
79
где б – площадь поверхности S, т. е. с помощью поверхностного интеграла первого рода
можно вычислять площади поверхностей.
Выясним физический смысл интеграла (3.24). Пусть f(x, y, z) – плотность вещества,
распределенного по поверхности S. Тогда массу m
i
частичной поверхности б
i
можно считать
приближенно равной f(x
i
, y
i
, z
i
)
i
. Суммируя массы частичных поверхностей разбиения,
получим приближенное значение массы всей поверхности S:
.),,(
11
i
n
i
iii
n
i
i
zyxfm
Массой m поверхности S естественно считать предел полученной интегральной суммы
при λ
0, т. е.
iiii
n
i
zyxfm
),,(lim
1
0
,
или
S
dzyxfm .),,(
Таким образом, если f(x, y, z) – плотность вещества, распределенного по поверхности S,
то интеграл
S
dzyxf
),,( численно равен массе поверхности S (физический смысл
поверхностного интеграла первого рода).
Кроме массы, с помощью поверхностных интегралов первого рода можно также
находить статические моменты, моменты инерции, координаты центра масс и подобные
величины для материальных поверхностей с известной плотностью распределения масс. Эти
задачи решаются аналогично соответствующим задачам для случая материальной
кривой,
материальных плоской и пространственной областей.
Вычисление поверхностного интеграла первого рода производится сведением
поверхностного интеграла к двойному по следующему правилу:
Пусть поверхность S задана управлением z = z(x,y), тогда имеет место формула
,)()(1),(,,),,(
22
dxdyzzyxzyxfdzyxf
SD
yx
(3.25)
где D – проекция поверхности S на плоскость Оxy. Аналогичные формулы имеют место и в
тех случаях, когда поверхность S задана уравнением y = y(x,z) или x = x(y,z).
Пример 3.2.1. Вычислить интеграл
S
dzyx
)13(,
где S – часть плоскости 12 zyx , лежащая в первом октанте (рис. 3.9).
Рис. 3.9
x
y
z
О
S: z = 1 – 2x – y
1
1
2
1
y = 1 – 2x
D
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- …
- следующая ›
- последняя »
