ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
80
Решение. Из уравнения плоскости находим:
,21 yxz ,2
x
z ,1
y
z .6141)()(1
22
yx
zz
Проекцией S на плоскость Оxy является треугольник D (рис. 3.9). Применяя формулу (3.25),
получаем
1
12
2
00
11
1
2
23
22
12
0
00
0
(3 1) (3 1 2 1) 6 6 6
26
6( ) 6 (1 2) 6 .
23 24
x
SD D
x
x
y z d x y x y dxdy x dxdy dx xdy
xx
xy dx x x dx
Пример 3.2.2. Найти площадь сферы радиуса R.
Решение. Если центр сферы S совместить с началом прямоугольной декартовой
системы координат (рис. 3.10), то в этой системе уравнение сферы будет иметь вид
2222
Rzyx . Очевидно, площадь сферы
,2
1
где
1
– площадь верхней полусферы,
уравнение которой можно представить в виде
.
222
yxRz
Рис. 3.10
Проекцией полусферы S
1
на плоскость Оxy является круг
222
: RyxD . Найдем
частные производные
x
z
и
y
z
:
222
yxR
x
z
x
,
222
yxR
y
z
y
.
Полагая в формуле (3.25) ,1),,( zyxf получаем
1
22
22
1
222
222
1() () 1 .
xy
SD D D
x y dxdy
dzzdxdy dxdyR
Rxy
R
xy
Переходя в полученном двойном интеграле к полярным координатам по формулам
x = r cos φ, у = r sin φ, находим
2
0
22
0
2
2
00
2
0
0
22
22
1
2)( RRRdRdrRR
rR
rdr
dR
R
R
,
следовательно, площадь сферы
2
1
42 R
.
О
D
z
y
R
x
222
1
:Sz R x y
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- …
- следующая ›
- последняя »
