Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

82
Поверхностный интеграл второго рода по кусочно-гладкой поверхности S определяется
как сумма интегралов по гладким кускам, из которых состоит S. Интеграл (3.27) можно
также определить как предел соответствующей интегральной суммы.
Поверхностный интеграл второго рода обладает такими же свойствами, как и
поверхностный интеграл первого рода, но в отличие от последнего при изменении стороны
поверхности (при этом направление нормали
n
меняется на противоположное) меняет знак.
Выясним физический смысл поверхностного интеграла второго рода. Обозначим через
a вектор с координатами P,Q,R, т. е.
a
=
.,, RQP
Тогда (3.26) можно записать в виде
.),(
dna
S

Согласно определению 3.2.3
S
ii
n
i
i
nadna
),(lim),
1
0
, (3.28)
где
i
– площадь частичной поверхности
i
разбиения S на части;
i
a ,
i
n – векторы a и n
в точке
ii
M
.
Каждое слагаемое суммы (3.28)
(
i
a ,
i
n )
i
=
i
a
ii
cos , ),(
iii
na
(3.29)
может быть истолковано следующим образом: если
i
– острый угол, то произведение равно
объему цилиндра с основанием
i
и высотой
i
a
i
cos . Пусть вектор a – скорость
жидкости, протекающей через поверхность S, тогда произведение (3.29) приближено равно
количеству жидкости, протекающей через площадку
i
за единицу времени в направлении
вектора
i
n
(рис. 3.12).
Рис. 3.12
Следовательно, интеграл

SS
dRPdna
)coscoscos),( будет
представлять общее количество жидкости, протекающей за единицу времени через
поверхность S в направлении вектора
n .
Рассмотрим основные способы вычисления поверхностных интегралов второго рода.
1.
Если уравнение поверхности S можно представить в виде z = z(x,y), то
  
SSD
dxdyyxzyxRdxdyzyxRdzyxR
1
)),(,,(),,(cos),,(
, (3.30)
где D
1
– проекция поверхности S на плоскость Оxy, знак «+» берется в том случае, когда
вектор
n
образует с осью Оz острый угол )0(cos
, знак «–», если этот угол
тупой
)0(cos
.
M
i
S
i
n
i
a
φ
i

Страницы