ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
83
Формула (3.30) позволяет свести вычисление поверхностного интеграла второго рода
от функции R(x, y, z) по поверхности S к вычислению двойного интеграла по области
D
1
– проекции
S на плоскость Оxy.
Аналогично вычисляются интегралы от функций P(x,y,z) и Q(x,y,z):
SSD
dydzzyzyxPdydzzyxPdzyxР ,),),,((),,(cos),,(
2
(3.31)
.,,,,,cos,,
3
dxdzzzxyxQdxdzzyxQdzyxQ
SDS
(3.32)
Здесь x = x(y,z) и y =y (x,z) – уравнения поверхности S; D
2
и D
3
– проекции поверхности
S на плоскости Оyz и Оxz соответственно.
Таким образом, если из уравнения F (x,y,z) = 0 поверхности S однозначно выражаются
z, x, y, то вычисление интеграла (3.27) сводится к применению формул (3.30) – (3.32) и
последующему вычислению соответствующих двойных интегралов.
Пример 3.2.3. Вычислить интеграл
,
S
zdxdyydxdzxdydz
где S – верхняя сторона части плоскости x + z – 1 = 0, отсеченная плоскостями y = 0, y = 4 и
лежащая в первом октанте (рис. 3.13).
Рис. 3.13
Решение. Учитывая, что вектор n образует с осями координат острые углы, по
формулам (3.30) – (3.32) соответственно находим
2)1(2)1(4)1()1(
1
0
2
1
0
4
0
1
0
1
xdxxdyxdxdxdyxzdxdy
SD
,
SD
zdzzdyzdzdydzzxdydz
2
1
0
4
0
1
0
1
0
2
2)1(2)1(4)1()1(,
SS
dyydxdz 0cos
,
так как плоскость S параллельна оси Оy ().0cos
Следовательно,
4202
zdxdyydxdzхdydz
S
.
D
1
D
2
1
1
z
x
4
y
S
n
О
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- …
- следующая ›
- последняя »
