ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
85
своими частными производными
z
R
y
Q
x
P
,,
в замкнутой области
SТТ , то имеет
место формула Остроградского-Гаусса
( cos cos cos ) ,
TS
PQR
dxdydz P Q R d
xyz
(3.34)
где cos
,cos
cos, – направляющие косинусы внешней нормали.
Формулу (3.34) можно также записать виде
.RdxdyQdxdzdydzPdxdydz
z
R
y
Q
x
P
ST
(3.35)
Наиболее просто теорема 3.2.1 доказывается для области Т, граница которой S
пересекается с любой прямой, параллельной осям координат, не более чем в двух точках.
Идея доказательства заключается в приведении обеих частей формулы (3.34) к двойным
интегралам. Для этого в левой части формулы нужно проинтегрировать первое слагаемое по
x, второе – по y, а третье – по z. К такому же выражению приводится и правая часть (3.34),
если воспользоваться формулами (3.30) – (3.32).
С помощью формулы Остроградского-Гаусса удобно вычислять поверхностные
интегралы по замкнутым поверхностям.
Пример 3.2.5. Вычислить интеграл
S
zdxdyydxdzxdydz ,32
где S – внешняя сторона пирамиды Т, ограниченной плоскостями x + y + z = 1, x = 0, z = 0
(см. рис. 2.15).
Решение. Применяя формулу (3.35), получаем
STT
VdxdydzdxdydzzdxdyydxdzxdydzI 66)321(32,
где V – объем пирамиды Т. Так как высота пирамиды H = 1, а площадь основания
S
о
2
1
11
2
1
, то
6
1
3
1
HSV
o
, следовательно, I = 6·V = 1.
Пример 3.2.6. Вычислить интеграл
dzyx
S
coscoscos
333
,
где
S – внешняя сторона сферы
2222
Rzyx .
Решение. Согласно формуле (3.34) имеем
TS
dxdydzzyxdzyxI
222333
3coscoscos
,
где Т – шар:
2222
Rzyx .
Переходя в тройном интеграле к сферическим координатам, получаем
.
5
12
2
5
6
2
5
3
cos
5
3cos33
2
0
5
55
2
0
2
2
5
2
0
2
2
0
4222
R
R
d
R
d
R
dddddxdydzzyxI
R
T
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- …
- следующая ›
- последняя »
