ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
84
2.
Если уравнение поверхности S можно представить в виде z = z(x,y), то
dxdyQzPzRRdxdyQdхdхPdydz
SD
yx
)( , (3.33)
где D – проекция поверхности S на плоскость Оxy. В правой части формулы (3.33)
переменную z в подынтегральном выражении следует заменить на z(x,y), знак перед
интегралом выбирается так же, как в формуле (3.30).
Аналогичные формулы имеют место и в тех случаях, когда уравнение поверхности S
может быть представлено в виде x = x(y,z) или y = y(x,z).
Пример 3.2.4. Вычислить
zdxdydxdzyx
S
2
22
по внешней стороне параболоида вращения
z = x
2
+y
2
(0 )1
z (рис. 3.14).
Решение. По условию z меняется от 0 до 1.
Подставляя z = 1 в уравнение параболоида, получаем
x
2
+ y
2
= 1. Значит проекцией поверхности S на
плоскость Оxy является круг
1:
22
yxD
.
Воспользуемся формулой (3.33), в правой части
которой следует взять знак минус, так как нормаль
n
образует с осью Оz тупой угол.
Учитывая, что P = 0,
22
yxQ ,
z
R
2
, ,2xz
x
,2yz
y
будет иметь
.)(2
)202)(2(2
2222
222222
dxdyyxyyx
dxdyyxyxyxzdxydxdzyxI
D
SD
Переходя в полученном двойном интеграле к полярным координатам, находим
21
22 22 22
00
22
4
1
2
0
0
00
2( ) 2 ( sin)
11
2(1sin) (1sin) ( cos) .
42 2
D
I x y y x y dxdy d r r rdr
r
dd
3.2.3. Формула Остроградского-Гаусса
Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между поверхностным
интегралом по замкнутой поверхности и тройным интегралом по пространственной области,
ограниченной этой поверхностью. Эта формула является пространственным аналогом
формулы Грина (3.13), которая связывает криволинейный интеграл по замкнутой кривой с
двойным интегралом по плоской области, ограниченной этой кривой.
Теорема 3.2.1. Пусть пространственная область Т ограничена гладкой или кусочно-
гладкой поверхностью S. Если функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывны вместе со
y
x
z
1
O
S: z = x
2
+ y
2
n
1
D
Рис. 3.14
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- …
- следующая ›
- последняя »
