ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
86
O
C
1
z
x
y
1
1
n
S: x + y + z = 1
D
3.2.4. Формула Стокса
Формула Стокса устанавливает связь между поверхностными и криволинейными
интегралами.
Теорема 3.2.2. Пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывны вместе со своими
частными производными первого порядка в некоторой пространственной области
Т. Тогда
для любой гладкой или кусочно-гладкой незамкнутой поверхности
S, лежащей в области Т,
имеет место формула Стокса
CS
RdzQdyPdxd
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
cos)cos)(cos)(
, (3.36)
где С – контур, ограничивающий поверхность S.
В формуле (3.36) направление обхода контура
С должно быть согласовано с
направлением нормали
cos,cos,cosn
следующим образом: если наблюдатель
смотрит с конца нормали
n
, то он видит обход контура С совершающимся против часовой
стрелки (рис. 3.15).
Доказательство теоремы 3.2.2 основано на применении формул (3.30)–(3.32) и формулы
Грина (3.13).
Формула Стокса позволяет интеграл по замкнутой пространственной линии
С заменить
интегралом по поверхности
S, «натянутой» на контур интегрирования. В частности, если
S – область на плоскости Оxy, ограниченная контуром С, то cos ,1cos,0cos,0
и
формула Стокса переходит в формулу Грина.
Пример 3.2.7. Вычислить с помощью формулы Стокса интеграл
С
zdzdydxxy
2
,
где С – линия пересечения плоскости x + y + z = 1 с координатными плоскостями. Обход
контура
С указан на рис. 3.16.
Рис. 3.16
Решение. В данном случае P = xy
2
, Q = 1, R = z, следовательно, 0
z
Q
y
R
,
0
x
R
z
P
, xy
y
P
x
Q
2
. Подставляя полученные выражения в формулу Стокса (3.36),
будем иметь:
SС
dxyzdzdydxxyI
cos2
2
,
где S – часть плоскости x + y + z = 1, лежащая в первом октанте, а интеграл берется по
верхней стороне поверхности
S. Далее, по формуле (3.30) имеем:
S
C
n
Рис. 3.15
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- …
- следующая ›
- последняя »
