ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
81
3.2.2. Поверхностный интеграл второго рода
Введем предварительно понятие стороны поверхности. В произвольной точке М
гладкой поверхности S фиксируем нормальный вектор (нормаль)
n , т. е. вектор,
перпендикулярный касательной плоскости к поверхности S в точке М. Рассмотрим на
поверхности S какой-либо замкнутый контур, проходящий через точку М и не имеющий
общих точек с границей поверхности S. Будем перемещать точку М по замкнутому контуру
вместе с вектором
n
так, чтобы при этом перемещении направление вектора n менялось
непрерывно (рис. 3.11). В начальное положение точка М вернется либо с тем же
направлением нормали, либо с противоположным.
Если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на гладкой поверхности S и не
пересекающему ее границу, при возвращении в исходную точку не меняет направление
нормали к поверхности, то поверхность называется двусторонней.
Примерами
двусторонних поверхностей служат плоскость, сфера, любая поверхность,
заданная уравнением z = z(x,y), где ),(),,(),,( yxzyxzyxz
yx
– функции, непрерывные в
некоторой области D плоскости Оxy.
Рис. 3.11
Если же на гладкой поверхности S существует замкнутый контур, при обходе которого
направление нормали меняется после возвращения в исходную точку на противоположное,
то поверхность называется односторонней. Простейшим примером односторонней
поверхности является так называемый лист Мёбиуса.
В дальнейшем рассматриваются только двусторонние поверхности. Для двусторонней
поверхности совокупность всех ее точек с выбранным в
них направлением нормали,
изменяющимся непрерывно при переходе от точки к точке, называется стороной
поверхности.
Перейдем теперь к определению поверхностного интеграла второго рода. Пусть на
гладкой поверхности S определены непрерывные функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z). Выберем
на S определенную сторону и обозначим через
n
единичный вектор нормали к выбранной
стороне поверхности. Так как
n
= 1, то
n
=
cos,cos,cos , где α, β, γ – углы, которые
вектор
n
образует с осями координат.
Определение 3.2.4. Поверхностным интегралом второго рода от функций P(x,y,z),
Q(x,y,z), R(x,y,z) по выбранной стороне гладкой поверхности S называется число, равное
S
dzyxRzyxQzyxP
)cos),,(cos),,(cos),,(( . (3.26)
Обозначается символом
dxdyzyxRdxdzzyxQdydzzyxP
S
),,(),,(),,( . (3.27)
М
S
n
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- …
- следующая ›
- последняя »
