Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

77
Доказанная лемма дает необходимое и достаточное условие независимости
криволинейного интеграла от пути интегрирования, но это условие трудно проверяемо. Если
сузить класс рассматриваемых областей, то можно получить более простой и эффективный
критерий.
Определение 3.1.3. Плоская область D называется односвязной, если каков бы ни был
замкнутый контур L D, ограниченная этим контуром часть плоскости целиком
принадлежит области D.
Например, односвязными областями являются круг, прямоугольник, внутренность
эллипса и т. п. Простейшим примером неодносвязной области является область, заключенная
между окружностями х
2
+ у
2
= 1, х
2
+ у
2
= 3. В самом деле, окружность х
2
+ у
2
= 2, лежащая в
этой области, содержит внутри себя точки, которые не принадлежат данной области,
например, начало координат (0,0). Имеет место
Теорема 3.1.2. Пусть функции Р(х,у) и Q(х,у) непрерывны вместе со своими частными
производными
y
P
и
x
Q
в области D. Для того чтобы криволинейный интеграл (3.21) при
произвольно фиксированных точках A
D и B
D не зависел от пути интегрирования AB D,
необходимо, а если область D односвязная, то и достаточно, чтобы во всех точках области D
выполнялось равенство
y
P
=
x
Q
.
Доказательство достаточности. Пусть в области D выполняется равенство
y
P
=
x
Q
.
Возьмем произвольный замкнутый контур L D и запишем формулу Грина (здесь
используется односвязность области D):

LG
QdyPdxdxdy
y
P
x
Q
,
где G – область, ограниченная контуром L. Так как
y
P
=
x
Q
в G, то
L
QdyPdx = 0.
Отсюда согласно лемме следует, что интеграл
АВ
QdyPdx
не зависит от формы кривой AB,
соединяющей фиксированные точки А и В.
Необходимость условия
y
P
=
x
Q
можно доказать методом от противного.
Теорема 3.1.2 позволяет достаточно просто решать вопрос о том, зависит или не
зависит криволинейный интеграл от пути интегрирования. Так, например,
AB
y
ydydxe в
любой области зависит от выбора пути, поскольку
x
Q
e
y
P
y
0, а интеграл

AB
dyxydxx 13
32
(см. пример 3.1.4) не зависит, так как
x
Q
x
y
P
2
3.
Напомним, что интеграл
АВ
QdyPdx численно равен работе, которую совершает сила

QPF , при перемещении материальной точки вдоль линии АВ. Следовательно,
теорема 3.1.2 дает ответ на вопрос о том, при каких условиях работа силы

QPF , не
зависит от линии перемещения АВ, а зависит только от начальной и конечной точек А и В.

Страницы