ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
74
Теорема 3.1.1. Пусть D – правильная ограниченная замкнутая область и пусть функции
P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными
y
P
и
x
Q
в данной
области. Тогда имеет место формула Грина:
CD
QdyPdxdxdy
y
P
x
Q
, (3.13)
где С – граничный контур области D, который обходится в положительном направлении.
Доказательство. По условию теоремы D – правильная область, поэтому любая прямая,
параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем в двух точках.
Следовательно, контур С, ограничивающий область, можно разбить на две части АMВ и ANB
(рис. 3.5), каждая из которых имеет уравнение вида y = y(x). Пусть
)(
1
xy
– уравнение
кривой AMB, а уравнение кривой ANB –
)(
2
xy
, bxa
. Так как по условию
производная
y
P
непрерывна в D, то существует двойной интеграл
D
dxdy
y
P
.
Рис. 3.5 Рис. 3.6
Сведем его сначала к повторному интегралу, а затем по формуле Ньютона-Лейбница
выполним интегрирование по y. В результате будем иметь
b
a
b
a
b
a
x
x
b
aD
dxxxPdxxxPdxxxPxxPdy
y
P
dxdxdy
y
P
.)(,)(,)(,)(,
12
)(
)(
12
2
1
(3.14)
Преобразуем теперь криволинейный интеграл
C
Pdx :
ANBAMBBNAAMBC
dxyxPdxyxPPdxPdxPdx ),(),(.
Применяя формулу (3.12), получим:
C
b
a
b
a
dxxxPdxxxPPdx .)(,)(,
21
(3.15)
Из формул (3.14), (3.15) следует
CD
Pdxdxdy
y
P
. (3.16)
)(
1
xy
)(
2
xy
О
у
х О
у
х
А
В
М
N
D
1
D
2
D
C
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- …
- следующая ›
- последняя »
