Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

72
Криволинейный интеграл второго рода называют также криволинейным интегралом по
координатам. В частности, если
0,
yxQ
, то интеграл

AB
dxyxP , называется
криволинейным интегралом по координате x. Если
0,
yxP , то

AB
dyyxQ , –
криволинейный интеграл по координате у.
В отличие от криволинейного интеграла первого рода криволинейный интеграл второго
рода зависит от того, в каком направлении (от А к В или от В к А) проходится кривая АВ, и
меняет знак при изменении направления обхода кривой, т. е.
QdyPdxQdyPdx
BAAB
.
Действительно, изменив направление обхода кривой, мы соответственно изменим знаки
проекций Δх
i
, Δу
i
в интегральной сумме (3.9) и, следовательно, сама сумма и ее предел
изменит знак.
В случае, когда кривая АВ замкнутая, т. е. когда точка В совпадает с точкой А, из двух
возможных направлений обхода замкнутой кривой условимся называть положительным то
направление, при котором область, лежащая внутри этой кривой, остается слева по
отношению
к точке, совершающей обход. Противоположное направление обхода замкнутой
кривой называется отрицательным. Криволинейный интеграл второго рода по замкнутому
контуру С обозначают символом
С
dyyxQdxyxP ,,.
Согласно определению 3.1.2 формулу (3.8) можно представить в виде
dyyxQdxyxPW
AB
,,
.
Отсюда следует физический смысл криволинейного интеграла второго рода: если
P(x, y) и Q(x, y) – проекции силы
F на координатные оси, то криволинейный интеграл (3.10)
численно равен работе, которую совершает сила
F при перемещении материальной точки
вдоль линии АВ.
3.1.5. Вычисление криволинейного интеграла второго рода
Вычисление криволинейных интегралов второго рода, как и интегралов первого рода,
сводится к вычислению определенных интегралов.
Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = х(t), у = у(t), причем
изменению t от α до β соответствует движение точки (х, у) по кривой АВ от А до В. Здесь не
обязательно, чтобы α
было меньше β. Тогда имеет место формула


.)()(),()()(),(),(),( dttytytxQtxtytxPdyyxQdxyxP
AB

(3.11)
В частности, если кривая АВ задана уравнением у = у(х), а ≤ х ≤ b, то, принимая х за
параметр (t = х), из формулы (3.11) получаем


b
aAB
dxxyxyxQxyxPdyyxQdxyxP .)()(,)(,),(),(
(3.12)
Аналогичная формула имеет место, если кривая АВ задана уравнением вида x = x(y),
c ≤ y ≤d.

Страницы