Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

70
Пример 3.1.1. Вычислить криволинейный интеграл
AB
dsyx , где АВ – часть
окружности:
x = acost, y = asint (0 ≤ t ≤ π).
Решение. Так как tax
t
sin
, tay
t
cos
,

atatayx
tt
2222
22
cossin , то
по формуле (3.4) получаем

0
2
0
2
2cossinsincos attaadtttadsyx
AB
.
Пример 3.1.2. Вычислить криволинейный интеграл
AB
dsx
2
по кривой АВ, заданной
уравнением:
у = lnx, 1 ≤ х ≤ 2.
Решение. Имеем
x
y
x
1
,

x
x
x
y
x
2
2
2
11
11
. Применяя формулу (3.5),
получим


3
2255
3
1
11
2
1
1
1
2
1
2
3
2
2
1
22
2
1
2
2
1
2
22
х
xdxdxxxdx
x
x
xdsx
AB
.
3.1.4. Криволинейный интеграл второго рода и его физический смысл
Рассмотрим физическую задачу, которая естественным путем приводит к понятию
криволинейного интеграла второго ряда и позволяет выяснить его физический смысл.
Предположим, что материальная точка перемещается по плоской кривой АВ из
положения А в положение В под действием силы
yxFF , , которая задана своими
проекциями P, Q на координатные оси, т. е.
QPjyxQiyxPF ,,,
.
Найдем работу W силы F при
перемещении точки из А в В вдоль заданной
кривой.
Если бы перемещение точки было бы
прямолинейным, а действующая сила
F – постоянной (по величине и
направлению), то работа W этой силы,
согласно известной из физики формуле, была
бы равна скалярному произведению вектора
F на вектор перемещения АВ , т. е.
ABFW , . Однако особенность задачи
состоит в том, что перемещение точки
является криволинейным, а действующая
сила – переменной.
В связи с этим разобьем кривую АВ на n
частей точками А
i
(i = 0, 1, …, n), А
0
= А,
А
n
= В (рис. 3.3).
∆
x
i
∆
y
i
A
i-1
A
i
M
i
О
A
= A
0
M
1
M
2
A
1
A
2
A
n–1
M
n
B
= A
n
i
F
x
i–1
x
i
y
i
y
i–1
Рис. 3.3

Страницы