Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

68
Так как функция
γ(x, y) непрерывна, то чем «мельче» разбиение кривой AB, тем точнее
равенство (3.1).
Массой материальной кривой называется предел правой части равенства
(3.1) при
λ →0, т. е.

n
i
iii
syxm
1
0
,lim
, (3.2)
где λ – наибольшая из длин частичных дуг А
i–1
А
i
(λ

.max
1
i
ni
s
Таким образом, вычисление
массы кривой сводится к вычислению предела (3.2).
3.1.2. Определение криволинейного интеграла первого рода,
его физический и геометрический смысл
Рассмотрим на плоскости
Оху гладкую или кусочно-гладкую кривую АВ, в каждой
точке которой задана произвольная непрерывная функция
z = f(x, y). Повторяя
последовательно все операции, выполненные при составлении правой части равенства (3.1),
составим сумму

n
i
iii
syxf
1
, , (3.3)
которая называется интегральной суммой для функции f(x, y) по кривой АВ.
Определение 3.1.1. Если при λ →0 интегральная сумма (3.3) имеет предел, который не
зависит ни от способа разбиения кривой
АВ на части, ни от выбора точек М
i
, то этот предел
называется
криволинейным интегралом первого рода от функции f(x, y) по кривой АВ и
обозначается символом
AB
dsyxf ,
.
Таким образом,

n
i
iii
AB
syxfdsyxf
1
0
,lim,
.
Криволинейный интеграл первого рода называют также криволинейным интегралом по
длине дуги.
Заметим, что криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления кривой
АВ. Действительно, в интегральной сумме (3.3) величины Δs
i
положительны, независимо от
того, какую точку кривой
АВ считать начальной, а какую – конечной, т. е.
ВAAB
dsyxfdsyxf ,, .
Из соотношения (3.2) следует физический смысл криволинейного интеграла первого
рода: масса
m материальной кривой АВ, имеющей плотность γ(x, y), равна криволинейному
интегралу первого рода от
γ(x, y) по кривой АВ, т. е.
AB
dsyxm ,
.
Помимо массы материальной кривой с помощью криволинейных интегралов первого
рода можно также, как это делали в случае двойных интегралов, находить статистические
моменты и моменты инерции этой кривой относительно координатных осей, координаты
центра масс и т. д.

Страницы