Высшая математика. Анкилов А.В - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

110
Полезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно малых функций
(
0)( xf при
0
xx ):
)(~)(sin xfxf
2/)(~)(cos1
2
xfxf
)(~)(tg xfxf
)(~)(arcsin xfxf )(~)(arctg xfxf )(~))(1ln( xfxf
)(~1
)(
xfe
xf
axfa
xf
ln)(~1
)(
)(~1))(1( xfxf
Замечание. Аналогичным образом можно сравнивать и бесконечно большие функции,
в частности дадим определение эквивалентности.
Определение 4.4.27. Функции )(xf и )(xg – эквивалентные бесконечно большие
функции при
0
xx , если )),(~)((1
)(
)(
lim
0
0
xxxgxf
xg
xf
xx
.
Вычисление пределов во многих случаях упрощается, если применить следующую
теорему.
Теорема 4.4.3. Пусть )(),(),(),(
11
xxxx
– бесконечно малые функции при
0
xx , причем
)(~)(
1
xx
,
)(~)(
1
xx
при
0
xx . Тогда если существует
)(
)(
lim
1
1
0
x
x
xx
, то
существует и
)(
)(
lim
0
x
x
xx
, причем
)(
)(
lim
)(
)(
lim
1
1
00
x
x
x
x
xxxx
(предел отношения бесконечно малых
не изменится, если заменить их эквивалентными бесконечно малыми).
Теорема 4.4.3 верна и для эквивалентных бесконечно больших функций.
При вычислении пределов можно также применять следующее правило.
Если )(xf и )(xg бесконечно большие функции при
x
и
qp
BxxgAxxf ~)(,~)(
при
x
, то
,
,
,0
,/
limlim
)(
)(
lim
qp
qp
qpBA
x
B
A
Bx
Ax
xg
xf
qp
x
q
p
xx
(4.1)
где
q
p
, – любые вещественные числа.
Пример 4.4.11. Найти
2
3
2
652
173
lim
x
x
xx
x
.
Решение. Найдем эквивалентные бесконечно большие:
,3~173
2
3
2
xxx
22
6~652 xxx при
, тогда
2
1
6
3
lim
652
173
lim
2
2
2
3
2
x
x
x
x
xx
xx
.
Приведем примеры использования эквивалентности бесконечно малых функций.
Пример 4.4.12. Найти
xx
x
x
5arctg
2cos1
lim
3
0
.
Решение. Пределы числителя и знаменателя равны 0 при
0x , т. е. имеем отношение
двух бесконечно малых функций. Преобразуем функцию, стоящую под знаком предела,
используя формулы
),)((
2233
babababa
xx
2
sin22cos1
и эквивалентность
бесконечно малых функций xx 5~5arctg при
0x . Тогда

Страницы