Высшая математика. Анкилов А.В - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

112
4.5. Непрерывность функции. Точки разрыва
4.5.1. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва
Определение 4.5.1. Функция )(xfy
называется непрерывной в точке
0
x , если:
1.
)(xfy определена в некоторой окрестности точки
0
x .
2.
)(lim
0
xf
xx
)(
0
xf .
Определение 4.5.2. Если в точке
0
x нарушено хотя бы одно из условий 1) или 2), то
0
x
называется точкой разрыва функции )(xfy
.
Сформулируем еще одно, равносильное, определение непрерывности.
Дадим аргументу
0
x приращение
x
. Тогда функция )(xfy
получит приращение
y , определяемое как разность наращенного и исходного значения функции:
)()(
00
xfxxfy .
Определение 4.5.3. Функция )(xfy
называется непрерывной в точке
0
x , если она
определена в некоторой окрестности этой точки и бесконечно малому приращению
аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:
0lim
0
y
x
. (4.2)
Условие непрерывности (4.2) можно представить одним из следующих способов:
0)]()([lim
00
0
xfxxf
x
,
)()(lim
00
0
xfxxf
x
.
Определение непрерывной в точке функции можно также сформулировать с помощью
левостороннего и правостороннего пределов функции в точке.
Определение 4.5.4. Функция )(xfy
называется непрерывной в точке
0
x , если она
определена в некоторой окрестности этой точки и выполняются следующие равенства
)()(lim)(lim
0
00
00
xfxfxf
xxxx
.
Невыполнение хотя бы одного из этих равенств влечет за собой разрыв функции.
Проведем классификацию точек разрыва функции:
1.
Если )()(lim)(lim
0
00
00
xfxfxf
xxxx
или функция не определена в точке
0
x , то
0
x
называется точкой разрыва первого рода с устранимым разрывом (или точкой устранимого
разрыва).
2.
Если BABxfAxf
xxxx
,)(lim,)(lim
00
00
, т. е. )(lim)(lim
00
00
xfxf
xxxx
, то точка
0
x
называется точкой разрыва первого рода с неустранимым разрывом (со скачком функции
BA ).
3.
В остальных случаях точка
0
x называется точкой разрыва второго рода.
Определение 4.5.5. Функция
)(xfy
, определенная на множестве
X
, называется
непрерывной на множестве
XX
1
, если она непрерывна во всех точках множества
1
X .
Определение 4.5.6. Функция
)(xfy
, определенная на множестве
D
, называется
непрерывной справа (слева) в точке Dx
0
, если выполняется равенство )()(lim
0
0
0
xfxf
xx
)()(lim
0
0
0
xfxf
xx
.

Страницы