Высшая математика. Анкилов А.В - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

111
5
6
5
)2cos2cos1(2
lim
5
)2cos2cos1(sin2
lim
5
)2cos2cos1)(2cos1(
lim
5arctg
2cos1
lim
2
22
0
2
22
0
2
0
3
0
x
xxx
x
xxx
xx
xxx
xx
x
xx
xx
(т. к. xx ~sin при 0x , то )0,~sin
22
xxx .
Ответ получили после сокращения числителя и знаменателя дроби на
2
x и подстановки
предельного значения аргумента.
Ответ:
5
6
5arctg
2cos1
lim
3
0
xx
x
x
.
Пример 4.4.13. Найти
)1ln()1ln()43(lim
xxx
x
.
Решение. Проведем следующие преобразования:

.
1
2
1ln)43(lim
1
2)1(
ln)43(lim
1
1
ln)43(lim)1ln()1ln()43(lim
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
xx
xx
Так как при ,0
1
2
,
x
x то
1
2
~
1
2
1ln
xx
, следовательно,
6
1
86
lim
1
2
)43(lim
1
2
1ln)43(lim
x
x
x
x
x
x
xxx
.
Ответ:
6)1ln()1ln()43(lim
xxx
x
.
Таким образом, при вычислении пределов используют следующие методы
раскрытия неопределенностей, описанные в пунктах 4.4.9–4.4.11:
1. Для раскрытия неопределенности вида
0
0
можно воспользоваться следующими
приемами:
а) так как под знаком предела стоит отношение бесконечно малых функций,
применить теорему 4.4.1 и цепочку эквивалентных бесконечно малых;
б) если в числителе и знаменателе дроби стоят многочлены произвольных степеней,
нужно разложить их на множители и сократить на множитель )(
0
xx
, который обращает в 0
числитель и знаменатель;
в) при вычислении пределов, содержащих иррациональные выражения,
использовать метод замены переменной или перевести иррациональность из знаменателя в
числитель или наоборот, дополняя до формулы разности квадратов или разности кубов, а
затем сократить дробь на множитель, обращающийся в 0.
2.
Для раскрытия неопределенности
воспользоваться правилом (4.1), указанным
выше, или разделить числитель и знаменатель на наивысшую степень х.
3.
Неопределенности типа

,0 преобразовать к неопределенностям типа
0
0
или
.
4.
Для раскрытия неопределенности
]1[
использовать второй замечательный предел.

Страницы