Высшая математика. Анкилов А.В - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

113
Определение 4.5.7. Функция )(xfy
называется непрерывной на отрезке ],[ ba , если
она непрерывна во всех точках интервала
),( ba
, непрерывна справа в точке a
x
и слева в
точке
bx .
При решении задач используется:
Теорема 4.5.1. Все элементарные функции непрерывны в своих областях определения.
Пример 4.5.1. Задана функция )(xfy
и два значения аргумента
1
x
и
2
x
.
Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной для каждого из
данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва
слева и справа; 3) сделать схематический чертеж
.1,0,5)(
21
1
xxxf
x
x
Решение. 1) Исследуем точку 0
1
x . Вычислим значение функции в этой точке:
15)0()(
0
1
fxf . Найдем:
1555lim)(lim
0
1
lim
1
0
0
1
x
x
x
x
xxx
x
xf .
Так как )()(lim
1
1
xfxf
xx
, то в точке 0
1
x
функция
)(xf
непрерывна;
2) Исследуем точку
1
2
x . Функция в точке
2
x не определена, значит, в этой точке она терпит
разрыв. Определим характер точки разрыва. Для
этого найдем односторонние пределы функции
055lim5lim)(lim
1
1
1
1
010
2
x
x
x
x
x
x
xxx
xf
,
55lim5lim)(lim
1
1
1
1
010
2
x
x
x
x
x
x
xxx
xf
.
Так как
)(lim
0
2
xf
xx
, то точка 1
2
x – точка
разрыва второго рода (с бесконечным разрывом).
Строим схематический чертеж (рис. 4.10).
Пример 4.5.2. Задана функция )(xfy
. Найти точки разрыва функции, если они
существуют. Сделать чертеж.
.2,5
,21,1
,10,
,0,ln
)(
2
x
xx
xx
xx
xf
Решение. Функция задана различными формулами на разных промежутках. В каждом
из промежутков xxxx 2,21,10,0 функция непрерывна, т. к. является
элементарной (см. теорему 4.5.1). Следовательно, точки разрыва могут быть только на
стыках промежутков, т. е. в точках 1) 0
0
x , 2) 1
1
x , 3) 2
2
x . Исследуем каждую точку.
Для этого найдем левосторонние и правосторонние пределы функции.
1.
0lim)(lim,lnlim)(lim
000000
00

xxfxxf
xxxxxx
.
Рис. 4.10. График функции
1
5
)
(
x
x
x
f

Страницы