Высшая математика. Анкилов А.В - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

114
Значит, в точке 0
0
x , функция имеет разрыв второго рода. При этом
)0(0lim)(lim
000
0
fxxf
xxx
. Значит, функция непрерывна справа в точке 0
0
x .
2.
2)1(lim)(lim,1lim)(lim
2
010010
11
xxfxxf
xxxxxx
.
Так как
)(lim)(lim
00
11
xfxf
xxxx
, то 1
1
x – точка разрыва первого рода, разрыв
неустранимый. Скачок функции равен
1 BA .
Так как
)1(1lim)(lim
10
1
fxxf
xxx
, то функция
непрерывна слева в точке
1
1
x .
3.
55lim)(lim,5)1(lim)(lim
020
2
020
22
xxxxxx
xfxxf .
Вычислим значение функции в точке
5)2(:2
2
fx .
Получили
)()(lim)(lim
2
00
22
xfxfxf
xxxx
, т. е. по
определению функция в точке
2
2
x непрерывна.
Строим график функции
)(xf (рис. 4.11).
4.5.2. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Теорема 4.5.2. (1 теорема Больцано-Коши) Пусть функция
)(xfy
непрерывна на
отрезке ],[ ba и на концах отрезка имеет значения разных знаков

0)()( bfaf
. Тогда
существует по крайней мере одна точка
),,( bac
в которой 0)(
cf .
Рис. 4.12. Геометрическая иллюстрация 1 теоремы Больцано-Коши
Теорема 4.5.3. (теорема Вейерштрасса) Если функция )(xfy
непрерывна на
отрезке
],[ ba , то на этом отрезке найдется по крайней мере одна точка
1
xx такая, что
значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению
)()(
1
xfxf , где
x
–
любая другая точка отрезка, и найдется по крайней мере одна точка
2
xx такая, что
значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению
)()(
2
xfxf .
Значение функции
)(
1
xf называется наибольшим значением функции )(xfy на
отрезке ],[ ba , значение функции
)(
2
xf – наименьшим значением функции на отрезке ],[ ba .
Рис. 4.11. График функции )(xf

Страницы