Высшая математика. Анкилов А.В - 130 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

130
xxx
cexcexxcexyx
1)1()1arcsin(sinsin .
Таким образом, после подстановки левая и правая части уравнения (*) тождественно
совпадают, это и означает, что данная функция )(xfy
удовлетворяет уравнению (*).
5.2.9. Логарифмическая производная. Производная сложно-показательной
функции
Определение 5.2.5. Логарифмической производной функции )(xfy называется
производная натурального логарифма этой функции, т. е. выражение
.
)(
)(
))((ln
xf
xf
xf
Так как
,))()(ln()(
xfxfxf
то применяя эту формулу к сложно-показательной функции
)(
)(
xv
xuy , 0)( xu (т. е.
функция от переменной x возводится в степень, тоже зависящую от x), получаем:
)(
)(')(
)(ln)(')())'(ln)(()()')((
)()()(
xu
xuxv
xuxvxuxuxvxuxu
xvxvxv
.
Пример 5.2.9. Пусть
x
xxy
sin
)( )0( x . Найти производную функции
x
y
.
Решение. Заданная функция является сложно-показательной. Найдем ее производную.
Для этого прологарифмируем обе части функции:
x
xy
sin
xxxy
x
lnsinlnln
sin
.
Возьмем производные от обеих частей равенства, учитывая, что функция
y зависит от
x
, т. е. yln – сложная функция
.
1
sinlncos
,)(lnsinln)(sin
1
,)ln(sin)(ln
x
xxx
y
y
xxxxy
y
xxy
Теперь выразим производную функции
x
x
xxyy
sin
lncos
и, учитывая, что
x
xy
sin
, получим
x
x
xxxy
x
x
sin
lncos
sin
.
Замечание. Метод логарифмического дифференцирования полезно также применять
в случаях, когда это приводит к более простому нахождению производной функции.
Пример 5.2.10. Найти производную функции
2
)1(
x
xx
y
.
Решение. Функция определена при ),2(]1,0[
x . Прологарифмируем обе части
функции по основанию
e :
2
)1(
lnln
x
xx
y
.

Страницы