Высшая математика. Анкилов А.В - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

132
Пример 5.2.11. Составить уравнение касательной и нормали к кривой
x
x
y
1
1
2
в
точке графика с абсциссой 9
0
x .
Решение. 20)31/()811()(
00
xfy ;
,
)1(2
143
)1(
)2/()1()1(2
)1(
)1)(1()1()1(
1
1
2
2
2
2
2
222
xx
xxx
x
xxxx
x
xxxx
x
x
y
откуда
3
11
1632
1274813
|)(
90
x
yxf .
Таким образом, уравнение касательной есть
)9(
3
11
20 xy , или 13
3
11
xy ;
уравнение нормали есть
0)20(
3
11
)9( yx , или
11
247
11
3
xy .
Пример 5.2.12. Составить уравнение касательной и нормали к кривой
3
1 xy в
точке графика с абсциссой 1
0
x .
Решение. Заметим, что
3
2
3/2
)1(3
1
)1(3
)1(
x
x
x
y
, откуда видно, что при x=1
полученная формула для производной теряет смысл. Следовательно, необходимо попытаться
вычислить )(
0
xf
непосредственно по определению (см. формулу (5.1)).
Покажем, что 
)(
0
xf .
В самом деле,

3
2
0
3
0
3
3
0
00
00
1
limlim
0)1(1
lim
)()(
limlim
x
x
x
x
x
x
xfxxf
x
y
xxxxx
.
Далее,
011)(
3
00
xfy
.
Таким образом, уравнение касательной есть
1
x , а уравнение нормали есть
0
y
.
5.2.11. Угол между кривыми
Определение 5.2.6. Под углом между
пересекающимися в точке ),(
000
yxM кривыми
)(
1
xfy и )(
2
xfy понимают угол между
касательными к этим кривым в точке их
пересечения, отсчитываемый от первой касательной
ко второй против часовой стрелки (рис. 5.5).
Угол между касательными вычисляется по
формуле
21
12
1
tg
kk
kk
(см. п. 3.1.3). Учитывая
геометрический смысл производной, имеем
Рис. 5.5. Угол между кривыми

Страницы