Высшая математика. Анкилов А.В - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

134
Пример 5.2.14. Найти дифференциал dy функции
.
1
2
x
x
y
Решение. Используя формулы 5.2 и таблицу 5.1, получаем:

2
2
2
2
2
22
)1(
2
)1(
)1(2
)1(
)1()1(
x
xx
x
xxx
x
xxxx
y
.
Таким образом,
.
)1(
2
2
2
dx
x
xx
dxydy
Ответ:
.
)1(
2
2
2
dx
x
xx
dy
Теорема 5.2.4 (инвариантность (независимость) формы дифференциала). Форма
дифференциала
dy функции )(xfy не зависит от того, является ли x независимой
переменной или x является дифференцируемой функцией некоторой переменной
t
, т. е. если
)(xfy
, а
)(tx
, то
dxxfdy
)(
.
Геометрический смысл дифференциал. Так как
ABxxxfdxxfdy
tg)()( (рис. 5.6),
то дифференциал функции )(xfy , соответствующий данным значениям
x
и x , равен
приращению ординаты точки касательной к кривой
)(xfy
в данной точке
x
.
Рис. 5.6. Геометрический смысл дифференциала
5.2.13. Использование дифференциала в приближенных вычислениях
Из определения дифференциала (5.4) следует, что если
0
0
xf , то при 0
x
приращение у функции f(x) и ее дифференциал dy в точке
0
x являются эквивалентными
бесконечно малыми величинами, что позволяет записать приближенное равенство
dyy
при достаточно малых (по модулю)
x
. Следовательно, для всех значений x, достаточно
близких к
0
x , справедлива формула
))(()()()(
0000
xxxfxfdyxfxf
.

Страницы