Высшая математика. Анкилов А.В - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

135
С целью достижения приемлемой точности вычисляемого значения
xf
рекомендуется точку
0
x выбирать так, чтобы, во-первых,
0
x была бы удалена от точки x на
минимально возможное расстояние, и, во-вторых, значения
0
xf и

0
xf
были определены,
и их можно было бы вычислить точно.
Пример 5.2.15. Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение
функции
4
2
7125 xxy в точке x=2,995.
Решение. Положим 3
0
x . Ясно, что
0
x достаточно близка к заданной точке
995,2
x
.
Найдем производную от функции





.
71252
65
71257125417125
4
3
2
2
43
2
41
2
xx
x
xxxxxxy
Поскольку в точке 3
0
x трехчлен 7125
2
xx принимает значение 0216
4
, то

0
xf и

0
xf
могут быть легко вычислены точно, а именно,

216
4
0
xf ,

16/9162/9
4
3
0
xf .
Перейдем к вычислению

xf . Имеем: ,005,03995,2
0
xx и, следовательно,

.5187997,100016/95531005,016/92
xf
5.2.14. Производные высших порядков
Определение 5.2.9. Производной n-го порядка (или n-й производной) функции y=f(x) в
точке
0
x называется производная в указанной точке от производной рассматриваемой
функции порядка (n–1), т. е.

0
)()(
)1(
0
)(
xx
nn
xfxf
, или
dx
dxydd
xd
yd
nn
n
n
)/(
11
, n=1,2,3,…
Определение 5.2.10. Если значение )(
0
)(
xf
n
определено, то о функции f(x) говорят, что
она n раз дифференцируема в точке
0
x .
Свойства производных высших порядков
Пусть cba ,, – постоянные величины, )(xu и )(xv – n раз дифференцируемые функции.
Тогда:
1.
.0,0)(
)(
nc
n
2.
).()())()((
)()()(
xvxuxvxu
nnn
3.
).())((
)()(
xcuxcu
nn
4.
Формула Лейбница.
),()()(')(...
...)()(")()(')()())()((
)()1(1
)2(2)1(1)()(
xvxuxvxuC
xvxuCxvxuCxvxuxvxu
nnn
n
n
n
n
n
nn
где
k
knnn
knk
n
C
k
n
...21
)1)...(1(
)!(!
!
– биномиальные коэффициенты.
5.
).())((
)()(
baxuabaxu
nnn
Приведем таблицу 5.3 производных высших порядков некоторых основных
элементарных функций

Страницы