Высшая математика. Анкилов А.В - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

137
Ответ:
.
)21(
1619232
4
2
x
xx
y
IV
Пример 5.2.17. Найти производную n-го порядка от функции
)1sin(
axxy .
Решение. Заметим сначала, что 1
x и 0
)(
k
x при k>1. Далее, по таблице 5.3
)2/sin()(sin
)(
kxx
k
, откуда по свойству 5: )2/1sin())1(sin(
)(
kaxaax
kk
.
Следовательно, применение формулы Лейбница будет успешным, если положить в ней
xxu )(, и )1sin()( ax-xv .
Поскольку nC
n
1
, имеем:
2
)1(
1sin1)2/1sin())1sin((
1)()(
n
axannaxaxaxxy
nnnn
0),2/)1(1sin()2/1sin(
1
nnaxannaxxa
nn
.
Заметим, что полученному ответу можно придать хотя и несколько громоздкий, но более
наглядный вид, а именно:
.34mod),1sin()1cos(
24mod),1cos()1sin(
14mod),1sin()1cos(
04mod),1cos()1sin(
1
1
1
1
)(
naxanaxxa
naxanaxxa
naxanaxxa
naxanaxxa
y
nn
nn
nn
nn
n
5.2.15. Дифференциалы высших порядков
Определение 5.2.11. Дифференциалом n-го порядка (или n-м дифференциалом) yd
n
функции y=f(x) называется дифференциал от дифференциала рассматриваемой функции
порядка (n–1), т. е. )(
1
yddyd
nn
.
Найдем выражение для yd
2
. По определению ))(()(
2
dxxfddydyd
. Так как dx не
зависит от
x
, т. е. по отношению к переменной
x
является постоянной величиной, то
множитель
dx можно вынести за знак дифференциала, т. е.
22
))((])([)( dxxfdxxfdxxfddxyd
.
Итак,
22
)( dxxfyd
, где
22
)(dxdx , а в общем случае
nnn
dxxfyd )(
)(
, где
nn
dxdx )( . Из этих формул следует, что
2
2
)(
dx
yd
xf
и вообще
n
n
n
dx
yd
xf )(
)(
.
Замечание. Дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством
инвариантности формы в отличие от дифференциала первого порядка.
Пример 5.2.18. Найти дифференциал второго порядка yd
2
для функции
2
)(
x
exy
.
Решение. Так как дифференциал второго порядка
22
)( dxxyyd
, то найдем вторую
производную
)(xy
:


222
2)(
2 xxx
xexeexy
,

Страницы