Высшая математика. Анкилов А.В - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

139
.0,
)1(9
24
))1((
))1((
9
2
2/3
)1(3
1
)(
222
t
ttt
t
ttt
tt
t
tt
x
y
y
t
tx
xx
Ответ: .
)1(9
24
22
ttt
t
y
xx
5.2.17. Производные первого и второго порядков
от неявно заданной функции
Пусть функция )(xfy
задана неявно равенством
0),(
yxF .
Чтобы найти производную, продифференцируем обе части этого равенства, считая, что
y
есть функция от
x
, используя правило дифференцирования сложной функции. Затем из
получившегося равенства выразим производную ),()( yxfxy
.
Замечание. Для нахождения значения производной неявной функции при данном
значении аргумента
x
нужно знать и значение функции
y
при данном значении
x
.
Чтобы найти производную второго порядка, дифференцируем равенство ),()( yxfxy
еще раз. Считая, что
y
есть функция от
x
, получим
),,()( yyxgxy
.
Подставляя найденную ранее производную первого порядка, окончательно получим
),(,,)( yxfyxgxy
.
Пример. 5.2.21. Найти первую и вторую производную функции, заданной неявно
x
y
eyx
arctg
22
.
Решение. Дифференцируя равенство, определяющее функцию
)(xy , получим
2
2
arctg
22
1
1
2
22
x
yxy
x
y
e
yx
yyx
x
y
.
Преобразуем получившееся выражение, учитывая, что
22
arctg
yxe
x
y
2222
yx
yxy
yx
yyx
.
Отсюда
yxyyyx
и, следовательно,
yx
yx
y
.
Дифференцируя это равенство и используя найденное для y
выражение, получим

3
22
222
)(
2
)(
22
)(
22
)(
))(1())(1(
yx
yx
yx
y
yx
yx
x
yx
yyx
yx
yxyyxy
y
.
Ответ:
yx
yx
y
;

3
22
)(
2
yx
yx
y
.

Страницы