Высшая математика. Анкилов А.В - 140 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

140
5.2.18. Механический смысл первой и второй производной
В пункте 5.1.1 было получено: если
)(tS
– путь, пройденный точкой за время t , то
первая производная
)()( tVtS скорость, а тогда вторая производная
)()()( tatVtS
ускорение в заданной точке t , т. е. физический смысл второй производной заключается в
том, что вторая производная от пути по времени есть ускорение.
Пример. 5.2.22. Закон движения материальной точки по прямой имеет вид
23
4
164
4
tt
t
S . Найти скорость и ускорение точки при 1
t с.
Решение. Найдем первую и вторую производные от )(tS
ttttStV 3212)()(
23
, 32243)()(
2
tttVta .
Подставляя 1t , окончательно получим 21)1(
V м/с, 15)1(
a м/с
2
.
Ответ:
21V м/с, 15a м/с
2
.
5.3. Основные теоремы дифференцирования
5.3.1. Теорема Ферма
Теорема 5.3.1. Пусть функция )(xf определена на некотором промежутке
X
и во
внутренней точке
0
x этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение.
Тогда если в точке
0
x существует
производная этой функции, то она равна
нулю, т. е.

0
0
xf .
Теорема Ферма имеет следующий
геометрический смысл (см. рис. 5.7): если во
внутренней точке промежутка функция
принимает наибольшее (наименьшее)
значение и в этой точке существует
касательная, то эта касательная параллельна
оси
Ox .
В теореме существенным является то, что
0
x – внутренняя точка. Действительно, если
наибольшее (наименьшее) значение достигается функцией на границе промежутка, то
производная в этой точке может быть не равна нулю. На этом же рис. 5.7 наименьшее значение
функции достигается в точке
a . Однако касательная в этой точке не параллельна оси Ox , т. е.
0)(
af .
5.3.2. Теорема Ролля
Теорема 5.3.2. Пусть функция )(xf
непрерывна на отрезке ],[ ba ,
дифференцируема на интервале ),( ba и
принимает на концах отрезка равные
значения: )()( bfaf . Тогда найдется точка
),( bac , в которой 0)(
cf .
Теорема Ролля имеет следующий
геометрический смысл (см. рис. 5.8): на
графике функции, удовлетворяющей
Рис. 5.7. Геометрическая иллюстрация
теоремы Ферма
Рис. 5.8. Геометрическая иллюстрация
теоремы Ролля

Страницы