ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
142
Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши при
xxg )(
. Чтобы
пояснить геометрический смысл теоремы Коши, рассмотрим кривую, заданную
параметрически:
)(tgx
,
)(tfy
,
),( bat
. Тогда левая часть формулы (5.6) – угловой
коэффициент касательной, проведенной в некоторой внутренней точке дуги, отвечающей
ct , а правая часть – угловой коэффициент хорды, соединяющей точки
))(),(( agafA и
))(),(( bgbfB .
5.3.5. Правило Лопиталя
Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида
0
0
или
при вычислении пределов.
Теорема 5.3.5. (Теорема Лопиталя). Пусть функции f и
g
определены и
дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки
a (конечной или
бесконечной) и 0)(lim)(lim
xgxf
axax
(
), причем, 0)(
xg в указанной окрестности.
Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел
A
xg
xf
ax
)(
)(
lim , то и
A
xg
xf
ax
)(
)(
lim .
Доказательство: Рассмотрим случай 0)(lim)(lim
xgxf
axax
. Доопределим функции f и
g
в точке a : 0)()( agaf . Тогда эти функции будут непрерывны в точке a . Применяя
теорему Коши, получим:
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
cg
cf
agxg
afxf
xg
xf
,
где c – промежуточная точка между a и
x
. При a
x
, очевидно, и ac . Поэтому
A
cg
cf
xg
xf
acax
)(
)(
lim
)(
)(
lim .
Эту теорему обычно называют правилом Лопиталя.
Замечание. Правило Лопиталя можно применять повторно, если функции f
и g
удовлетворяют тем же требованиям, что и исходные функции f и
g
.
Пример 5.3.4.
2
1
2
sin
lim
)(
)cos1(
lim
cos1
lim
0
2
0
2
0
x
x
x
x
x
x
xxx
.
Пример 5.3.5.
)cos1(cos
cos1
lim
cos1
1
cos
1
lim
sin
tg
lim
2
2
0
2
00
xx
x
x
x
xx
xx
xxx
2
0cos
0cos1
cos
cos1
lim
22
0
x
x
x
.
Пример 5.3.6. При 0
0lim
1
lim
ln
limlnlim
0
1
000
x
x
x
x
x
xx
xxxx
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- …
- следующая ›
- последняя »
