Высшая математика. Анкилов А.В - 144 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

144




....321
............................
,12...321
,1...3221)(
,...32)(
3
3
2
32
12
321
n
n
n
n
n
n
n
n
anxp
xnannaxp
xnanxaaxp
xnaxaxaaxp
Полагая во всех этих формулах 0x , выразим коэффициенты многочлена через значения
многочлена и его производных в нуле:



!
0
,...,
!3
0
,
!2
0
,
!1
0
,0
3210
n
p
a
p
a
p
a
p
apa
n
n
,
где
nn ...321! .
Подставляя эти значения коэффициентов в (5.7), получим:


n
n
x
n
p
x
p
x
p
x
p
pxp
!
0
...
!3
0
!2
0
!1
0
0
32
. (5.8)
Тот же многочлен

xp можно разложить по степеням
0
xx
, где R
0
x – фиксированная
точка:
 




n
n
xx
n
xp
xx
xp
xx
xp
xpxp
0
0
2
0
0
0
0
0
!
...
!2!1
,
или


k
k
n
k
xx
k
xp
xp
0
0
0
!
. (5.9)
Формула (5.9), так же как ее частный (при 0
0
x ) случай (5.8), называется формулой
Тейлора для многочленов.
Рассмотрим теперь произвольную функцию )(xf и предположим, что она имеет в
точке
0
x конечные производные до n -го порядка включительно. Тогда многочлен


k
k
n
k
n
xx
k
xf
xT
0
0
0
!
(5.10)
называется многочленом Тейлора
n
-го порядка функции )(xf в точке
0
x . Заметим, что


.,...,2,1,0,
00
nkxfxT
kk
n
(5.11)
Рассмотрим функцию

xTxfxr
nn
. Для нее согласно (5.11) имеем:
nkxr
k
n
,...,2,1,0,0
0
)(
. (5.12)
Покажем, что из равенств (5.12) следует, что
n
n
xxoxr
0
при
0
xx . Применим
правило Лопиталя:











.0
!
1
lim
!
1
!
lim...limlim
0
0
0
11
0
1
1
00
0
000
xr
nxx
xrxr
n
xxn
xr
xxn
xr
xx
xr
n
n
n
n
n
xx
n
n
xx
n
n
xx
n
n
xx

Страницы