Высшая математика. Анкилов А.В - 146 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

146
4.
Пусть

xxf 1, где R
.
Тогда
 
,...,11,1
21
xxfxxf
n
n
xnxf
11...1
,
так что
  
1...10,...,10,0,10
nffff
n
.
Поэтому разложение по формуле Маклорена имеет вид



nn
xox
n
n
xxx
!
1...1
...
!2
1
11
2
. (5.18)
5. Для функции

xxf 1ln согласно таблице 5.3



Nk
x
k
xf
k
k
k
,
1
!11
,
поэтому


!110 kf
k
k
. Следовательно,
 

n
n
n
xo
n
xxx
xx
1
32
1...
32
1ln . (5.19)
Все разложения (5.15 – 5.19) имеют место при 0x .
Формула Тейлора может быть использована при вычислении пределов.
Пример 5.3.11. Вычислить
3
0
sin
lim
x
xx
x
.
Воспользуемся формулой

4
3
!3
sin xo
x
xx (см. формулу (5.16), при 2m ).


6
1
6
1
lim
!3
lim
sin
lim
3
4
0
3
4
3
0
3
0
x
xo
x
xxo
x
x
x
xx
xxx
.
Пример 5.3.12.



2
1
2
1
lim
2
lim
1ln
lim
2
2
0
2
2
2
0
2
0
x
xo
x
xxo
x
x
x
xx
xxx
.
Замечание. Если предположить, что функция )(xf имеет все производные до

1n -го порядка включительно в некоторой окрестности точки
0
x , то для значений
x
из
этой окрестности имеет место равенство









,
!1!
...
!2!1
1
0
1
0
0
2
0
0
0
0
0
n
n
n
n
xx
n
cf
xx
n
xf
xx
xf
xx
xf
xfxf
(5.20)
где c – некоторая промежуточная точка между
x
и
0
x . Равенство (5.20) называется
формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Страницы