Высшая математика. Анкилов А.В - 147 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

147
5.4. Исследование функций и построение графиков
5.4.1. Монотонность и экстремумы функции
В пункте 4.4.1. было дано определение возрастающей и убывающей функции. Теперь
применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.
Теорема 5.4.1.
1) Если функция имеет производную на отрезке ],[ ba и возрастает (убывает) на этом
отрезке, то ее производная на отрезке ],[ ba не отрицательна (не положительна), т. е.
0)(
xf (0)(
xf ).
2) Пусть функция )(xf непрерывна на отрезке ],[ ba и дифференцируема в интервале
),( ba . Тогда, если производная 0)(
xf для ),( bax
, то функция возрастает на ],[ ba ; если
0)(
xf для ),( bax , то функция убывает на ],[ ba .
Замечание. Из первого утверждения теоремы следует, что в интервале возрастания
(убывания) функции могут быть отдельные точки, в которых
0)(
xf
.
Определение 5.4.1. Функция )(xf имеет в точке
0
x максимум (минимум), если она
определена в интервале ),(
00
xx и для всех
000
),,( xxxxx
выполнено
неравенство )()(
0
xfxf ()()(
0
xfxf ).
Определение 5.4.2. Максимумы или минимумы функции называютя экстремумами или
экстремальными значениями.
Определение 5.4.3. Значения аргумента, при которых производная функции )(xf
обращается в нуль или не существует, называются критическими точками.
Теорема 5.4.2. (необходимое условие экстремума). В точке экстремума производная
)(
0
xf
равна нулю или не существует, т. е.
0
x является критической точкой функции )(xf .
Теорема 5.4.3. (I достаточное условие экстремума). Пусть функция определена и
непрерывна в некоторой окрестности ),(
00
xx критической точки
0
x и
дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки
0
x ).
Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус,
то при
0
xx функция имеет максимум, если меняет знак с минуса на плюс, то при
0
xx
функция имеет минимум.
Пример 5.4.1. Построить график функции 2336152
23
xxxy с помощью
производной первого порядка.
Решение.
1.
Областью определения данной функции, как всякого многочлена, является вся
числовая прямая, т. е.
R)( fD .
2.
Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
3.
Точки пересечения с осями, интервалы знакопостоянства.
С осью Оу:
232303601502,0
yx
.
С осью Ох: 02336152,0
23
xxxy .
(Если решение уравнения
0)(
xy
нельзя получить элементарным путем, этот пункт
исследования можно опустить.)
Подбором убеждаемся, что
1x – корень уравнения. Разложим левую часть уравнения
на множители. Для этого разделим 2336152
23
xxx на
1
x
.

Страницы