Высшая математика. Анкилов А.В - 145 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

145
Следовательно,
n
nnn
xxoxTxrxTxf
0
)()()( при
0
xx . Принимая во внимание
равенство (5.10), имеем при
0
xx :







nn
n
xxoxx
n
xf
xx
xf
xx
xf
xfxf
00
0
2
0
0
0
0
0
!
...
!2!1
(5.13)
или


nk
k
n
k
xxoxx
k
xf
xf
00
0
0
!
.
Формула (5.13) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Вводя обозначения
0
xxx для приращения аргумента и

00
xfxfxf
для
приращения функции, формулу (5.37) можно записать в виде



nn
n
xox
n
xf
x
xf
x
xf
xf
!
...
!2!1
0
2
00
0
при
0x .
Учитывая, что
  

000
22
000
,...,, xfdxxfxfdxxfxdfxxf
nnn
,
получаем еще один вид формулы Тейлора:
   
nn
xoxfd
n
xfdxdfxf
00
2
00
!
1
...
!2
1
при 0x .
Формула (5.13) имеет наиболее простой вид при 0
0
x


nn
n
xox
n
f
x
f
x
f
fxf
!
0
...
!2
0
!1
0
0
2
(5.14)
и называется формулой Маклорена.
Рассмотрим примеры разложений элементарных функций по формуле Маклорена.
1.
Пусть

x
exf .
Тогда


xk
exf при всех Nk . Поэтому
10
0
ef
k
и по формуле (5.14) имеем:

n
n
x
xo
n
xxx
e
!
...
!2!1
1
2
. (5.15)
2.
Пусть

xxf sin .
Тогда согласно таблице 5.3 при четных
mn 2
производная
00
n
f , а при нечетных
12 mn


m
n
f 10 . Следовательно, положив в формуле (5.14) mn 2 , получим:



m
m
m
xo
m
xxx
xx
2
12
1
53
!12
1...
!5!3
sin
. (5.16)
3. Для функции
xxf cos аналогично предыдущему примеру имеем:



12
242
!2
1...
!4!2
1cos
m
m
m
xo
m
xxx
x . (5.17)

Страницы