Высшая математика. Анкилов А.В - 143 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

143
Пример 5.3.7. Вычислить
x
x
x
0
lim
.
Здесь мы имеем неопределенность вида
]0[
0
. Прологарифмируем функцию
xxyxy
x
lnln .
0lnlimlnlim
00
xxy
xx
(см. пример 5.3.6). Следовательно,
1lim
0
0
ex
x
x
.
Пример 5.3.8. Вычислить
x
x
x
ctg
0
)(coslim
.
Здесь мы имеем неопределенность вида ]1[
. Пусть
x
xy
ctg
cos , тогда .coslnctgln xxy



0cossinlim
cos
1
cos
sin
lim
tg
cosln
lim
tg
cosln
limcoslnctglim
0
2
0000
xx
x
x
x
x
x
x
x
xx
xxxxx
.
Следовательно,

1coslim
0
ctg
0
ex
x
x
.
Замечание. Если
)(
)(
lim
xg
xf
ax
не существует, то отсюда не следует делать ошибочный
вывод о том, что
)(
)(
lim
xg
xf
ax
также не существует. Это говорит лишь о том, что правило
Лопиталя в данной ситуации неприменимо.
Пример 5.3.9. Применение правила Лопиталя к вычислению предела
x
xx
x
sin
lim
приводит к пределу
x
x
cos1lim
, который не существует. В то же время искомый предел
существует:
.1
sin
1lim
sin
lim
x
x
x
xx
xx
Предостережем также от невнимательного применения правила Лопиталя к тем случаям,
когда неопределенность отсутствует.
Пример 5.3.10. Вычислить
2
0
cos1
lim
x
x
x
.
Неверное применение правила Лопиталя дает нам


2
1
2
sin
lim
cos1
lim
cos1
lim
0
2
0
2
0
x
x
x
x
x
x
xxx
.
В то же время предел числителя равен 2, а знаменателя – 0, поэтому искомый предел
равен
.
5.3.6. Формула Тейлора
Рассмотрим многочлен

n
n
xaxaxaxaaxp ...
3
3
2
210
(5.7)
и вычислим его производные:

Страницы