Высшая математика. Анкилов А.В - 141 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

141
условиям теоремы, найдется точка, в которой касательная параллельна оси
Ox . Рассмотрим
примеры, показывающие существенность всех трех условий теоремы Ролля.
Пример 5.3.1. Функция
}{)( xxf
(дробная часть
x
), график которой изображен на
рис. 5.9, удовлетворяет на отрезке ]1,0[ всем условиям теоремы Ролля, кроме непрерывности
в точке
1x
. Ее производная 1)(
xf при всех )1,0(
x .
Рис. 5.9. График функции }{)( xxf
Пример 5.3.2. Функция
||)( xxf
непрерывна на отрезке
]1,1[
и принимает на его
концах равные значения. Однако производная этой функции в точке
O не существует.
Производная
)(xf
нигде на интервале )1,1(
в нуль не обращается.
Пример 5.3.3. Функция xxf )( непрерывна и дифференцируема на отрезке ]1,0[, но
на его концах принимает различные значения. Ее производная
1)(
xf
всюду на отрезке
]1,0[ .
5.3.3. Теорема Лагранжа
Теорема 5.3.3. Пусть функция
)(xf
непрерывна на отрезке
],[ ba
и дифференцируема в
интервале ),( ba . Тогда найдется точка ),( bac
, в которой
ab
afbf
cf
)()(
)( . (5.5)
Теорема Лагранжа имеет следующий
геометрический смысл (рис. 5.10): на графике
дифференцируемой функции найдется точка, в
которой касательная параллельна хорде
A
B .
Действительно, )(cf
– угловой коэффициент
касательной,
tg
AC
BC
ab
afbf
k
)()(
– угловой
коэффициент хорды AB .
По теореме Лагранжа имеет место формула
))(()()( abcfafbf
,
которая так же, как и формула (5.5), называется формулой Лагранжа, или формулой
конечных приращений.
5.3.4. Теорема Коши
Теорема 5.3.4. Пусть функции f и
g
непрерывны на отрезке ],[ ba и
дифференцируемы на интервале
),( ba , причем 0)(
xg . Тогда найдется точка ),( bac , для
которой
)()(
)()(
)(
)(
agbg
afbf
cg
cf
. (5.6)
Формула (5.6) называется формулой Коши.
Рис. 5.10. Геометрическая
иллюстрация теоремы Лагранжа

Страницы