Высшая математика. Анкилов А.В - 133 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

133
)(
011
xfk
и )(
022
xfk
. Тогда эту формулу можно записать следующим образом:
)()(1
)()(
tg
0201
0102
xfxf
xfxf
.
Пример 5.2.13. Найти угол между кривыми xy sin
1
и xy cos
2
в точке их
пересечения
4
0
x .
Решение. Найдем производные данных функций в точке
0
x
.
2
2
4
sin
4
,sin)(cos)(
;
2
2
4
cos
4
,cos)(sin)(
222
111
ykxxxy
ykxxxy
Подставляя в формулу, найдем тангенс угла между кривыми
22
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
tg
21
12
kk
kk
,
следовательно, угол )22(arctg)22(arctg
.
Ответ:
)22(arctg
.
5.2.12. Дифференциал и его связь с производной
Дадим определение дифференцируемости функции, равносильное определению 5.2.2.
Определение 5.2.7. Пусть функция
)(xfy
определена в некоторой окрестности
точки
0
x . Функция )(xf называется дифференцируемой в точке
0
x , если ее приращение
)()(
00
xfxxfy может быть представлено в виде
xxxAy
)(
,
где A – величина, не зависящая от x , а функция )( x
– бесконечно малая при 0x .
Определение 5.2.8. Линейная часть xA
приращения у
называется дифференциалом
функции y=f(x) в точке
0
x , соответствующим приращению
x
, и обозначается символом dy.
Теорема 5.2.3 (связь дифференциала с производной). Для того чтобы функция )(xf
была дифференцируемой в точке
0
x , необходимо и достаточно, чтобы существовала
конечная производная )(
0
xf
. При этом )(
0
xfA
.
Эта теорема позволяет называть дифференцируемой всякую функцию, имеющую
производную. Именно в таком смысле ранее было дано определение 5.2.2.
Таким образом, выражение для дифференциала приобретает вид
,)(
0
dxydxxfdy
(5.4)
где принято обозначение
xdx .
Итак, задача вычисления дифференциала функции сводится к задаче вычисления
производной этой функции.

Страницы