Высшая математика. Анкилов А.В - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

14
1.2.2. Определители n-го порядка
Пусть даны n элементов
n
aaa ,...,,
21
(например, это могут быть числа 1, 2, 3,…, n ).
Перестановкой этих элементов называется любое их расположение в определенном порядке.
Всего из
n элементов можно составить nn
...21! перестановок. Перестановку будем в
дальнейшем обозначать одной буквой (например,
). Тогда
)(k
будет означать k -й элемент
перестановки. Если какая-нибудь пара ),(
ki
aa элементов перестановки расположена в ней
так, что элемент с большим номером стоит раньше элемента с меньшим номером, то говорят,
что эти элементы образуют
инверсию. Перестановки с четным числом инверсий называются
четными, а перестановки с нечетным числом инверсий – нечетными перестановками.
Например, перестановка
)2,3,1,4(
является четной, т. к. она имеет четыре инверсии:
),3,4(),1,4(
)2,3(),2,4(
.
Определение 1.2.3. Определителем n -го порядка квадратной матрицы
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
..................
...
...
21
22221
11211
называется число
)()2(2)1(1
)(
21
22221
11211
...)1(
...
.................
...
...
det
nn
S
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
A
, (1.6)
где )(
S – число инверсий перестановки
, а сумма берется по всем перестановкам
из n
элементов. Таким образом, в этой сумме
!n
слагаемых, каждое из которых является, с
точностью до знака, произведением
n элементов матрицы A . Причем в каждое
произведение входит ровно по одному элементу из каждой строки и из каждого столбца.
Каждое из этих произведений входит в указанную сумму со знаком, определяемым числом
инверсий перестановки, составленной из вторых индексов (номеров столбцов) при условии,
что первые индексы (номера строк) записаны в порядке возрастания (1, 2, 3,…,
n ).
Определение 1.2.4. Пусть A – квадратная матрица
n
-го порядка:
.
...
..................
...
...
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
Минором
ij
M
элемента
ij
a
определителя Adet матрицы
A
называется определитель
)1(
n
порядка, полученный из определителя
Adet вычеркиванием i -й строки и
j
-го столбца, на пересечении которых стоит элемент
ij
a .
Определение 1.2.5. Алгебраическим дополнением элемента
ij
a
матрицы
A
n -го
порядка называется число
.)1(
ij
ji
ij
MA
Пример 1.2.4. Найти миноры и алгебраические дополнения элементов
131211
,, aaa
матрицы

Страницы