Высшая математика. Анкилов А.В - 151 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

151
5.4.2. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
По теореме 4.5.3. (теорема Вейерштрасса) функция, непрерывная на отрезке
],[ ba
,
принимает на этом отрезке хотя бы в одной точке наименьшее значение и хотя бы в одной
точке наибольшее значение. Эти значения достигаются функцией в точках экстремума,
лежащих внутри отрезка, или на концах этого отрезка.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений
1. Найти критические точки, где производная функции равна нулю или не существует,
лежащие внутри отрезка ],[
ba .
2.
Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка.
3.
Сравнить полученные значения функции. Выбрать из них наибольшее и
наименьшее.
Пример 5.4.3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
3
2
)6()2(1 xxy на отрезке [3;7].
Решение.
Область определения данной функции – вся числовая прямая.
Найдем критические точки, принадлежащие интервалу (3;7).
3
24
3
24
3
24
2
)6()2(
)143)(2(
3
1
)6()2(
)2122)(2(
3
1
)6()2(
)2()6)(2(2
3
1
'
xx
xx
xx
xxx
xx
xxx
y
.
Производная не существует при 2
x и при 6
x , причем )7;3(6),7;3(2
.
)7;3(
3
2
4,
3
2
4,0143,0
xxy .
Найдем значения функции на концах отрезка и в критических точках, которые принадлежат
отрезку
92,3251)7(,1)6(,12,14
3
2
1
3
2
4,44,031)3(
3
3
3
yyyy .
Выберем из полученных значений наибольшее и наименьшее
92,3251)7(max
3
]7;3[
yy
x
,
12,14
3
2
1
3
2
4min
3
]7;3[
yy
x
.
Для решения текстовой задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значений
нужно:
1.
Выяснить, наибольшее или наименьшее значение какой величины
y
требуется
найти.
2.
Выбрать независимую переменную
x
.
3.
Исходя из условия задачи, выразить
y
как функцию от
x
. (Если функция окажется
функцией двух или более независимых переменных, надо исключить ряд переменных, кроме
одной, используя условия задачи.)
4.
По смыслу задачи определить область изменения аргумента
x
.
5.
Исследовать функцию )(xy на наибольшее и наименьшее значения на этом
промежутке.
Пример 5.4.4. Буровая вышка расположена в поле в 9 км от ближайшей точки шоссе.
С буровой надо направить курьера в населенный пункт, расположенный по шоссе в 15 км от
упомянутой точки шоссе (считаем шоссе прямолинейным). Скорость курьера на велосипеде
по полю 8 км/ч, а по шоссе 10 км/ч. К какой точке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее
время достичь населенного пункта?

Страницы