Высшая математика. Анкилов А.В - 152 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

152
Решение.
Пусть длина участка
ОР шоссе равна
x км. Тогда РА=15–x км,
РВ=
22
9)15( x км.
Затраченное курьером время равно
.
108
9)15(
22
x
x
Найдем наименьшее значение функции
10
9)15(
8
1
)(
22
x
xxy
при ].15;0[x
10
1
9)15(2
)15(2
8
1
)('
22
x
x
xy
; 0)(
xy ; 0
10
1
9)15(2
)15(2
8
1
22
x
x
;
222
9)15()15(
16
25
хх ; 144)15(
2
х ; 1215
х ;
3
1
x
,
27
2
x
.
По условию задачи ]15;0[3],15,0[27],15,0[
12
xxx – критическая точка.
Найдем значение функции на концах отрезка [0;15] и в критической точке.
19,2
10
0
915
8
1
)0(
22
y , ,18,2
10
3
912
8
1
)3(
22
y
,63,2
10
15
8
9
)15( y .18,2)3(min
]15;0[
yу
x
Ответ: курьер должен двигаться в точку, удаленную на 3 км от населенного пункта и на
12 км от ближайшей к буровой точки шоссе.
5.4.3. Исследование функций с помощью производных высших порядков.
Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба
Исследование функций с помощью производных высших порядков основано на
применении следующих теорем.
Теорема 5.4.4. (II достаточное условие экстремума). Если функция )(xf имеет в
некотором интервале ),(
00
xx вторую непрерывную производную )(xf
, и в точке
0
x
выполнены условия 0)(
0
xf и 0)(
0
xf
, то в этой точке функция )(xf имеет экстремум,
а именно, максимум при 0)(
0
xf и минимум при 0)(
0
xf .
Теорема 5.4.5. (III достаточное условие экстремума). Пусть функция
)(xf
имеет в
некотором интервале ),(
00
xx производные )(),...,(
)1(
xfxf
n
и в точке
0
x
непрерывную производную )(
0
)(
xf
n
, причем ,0)(,...,0)(,0)(
0
)1(
00
xfxfxf
n
0)(
0
)(
xf
n
.
В таком случае:
1)
если n – четное число, то в точке
0
x
функция )(xf имеет экстремум, а именно,
максимум при
0)(
0
)(
xf
n
и минимум при
0)(
0
)(
xf
n
;
2)
если n – число нечетное, то в точке
0
x функция )(xf экстремума не имеет.
Рис. 5.14. К задаче 5.4.4

Страницы