Высшая математика. Анкилов А.В - 153 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

153
Определение 5.4.4. Кривая обращена выпуклостью вверх (вниз) на интервале ),( ba ,
если все точки кривой лежат ниже (выше) любой ее касательной на этом интервале. Кривую,
обращенную выпуклостью вверх, будем называть
выпуклой, а обращенную выпуклостью
вниз –
вогнутой.
Теорема 5.4.6. (Достаточные условия вогнутости и выпуклости). Если функция
)(
xfy дважды непрерывно дифференцируема на ),( ba и 0)(
0
xf для всех ),( bax , то
график функции на этом интервале вогнутый. Если 0)(
0
xf для всех
),( bax
, то график
на этом интервале выпуклый.
Определение 5.4.5. Точки, в которых меняется направление выпуклости графика
функции, называются
точками перегиба.
Из теоремы 5.4.6 следует, что в точках возможного перегиба вторая производная
0)(
xf или )(xf
не существует.
Теорема 5.4.7. (Достаточное условие перегиба). Пусть в точке
0
x определена первая
производная функции )(
xfy , 0)(
0
xf
или )(
0
xf
не существует. Если )(
0
xf
меняет
свой знак при переходе через
0
x , то
0
x – точка перегиба.
Пример 5.4.5. Исследовать поведение функции в окрестности заданной точки с
помощью производных высших порядков:
);1ln(
2
1
arctg
2
xxy 1
0
x .
Решение.
1.
222
1
1
1
2
2
1
1
1
'
x
x
x
x
x
y
, 0)1(
y ;
2
2
22
2
2
1
12
)1(
)1(21
1
1
x
xx
x
xxx
x
x
y
,
2
1
)1(
y
,
0)1(
y , 0)1(
y , причем 0)1(
y , следовательно, по теореме 5.4.4 1
0
x – точка
максимума.
2.
0
2
1
)1(
y , )(xy
непрерывна на R, следовательно, существует такая
окрестность точки 1
0
x , где 0)(
xy
. В этой окрестности, по теореме 5.4.6, график
функции выпуклый.
Пример 5.4.6. Исследовать поведение функции в окрестности заданной точки с
помощью производных высших порядков: 2,)2(
0
5
xxy .
Решение.
1.
0)2(,)2(5)(
4
yxxy .
0)2(,)2(20)(
3
yxxy ,
0)2(,)2(60)(
2
yxxy ,
0)2(),2(120)(
)4()4(
yxxy ,
120)2(,120)(
)5()5(
yxy ,
т. е. 0)2(,0)2()2()2()2(
)5()4(
yyyyy .
Производная пятого порядка отлична от 0 (порядок производной – нечетное число),
следовательно, по теореме 5.4.5 в точке 2
0
x функция экстремума не имеет.
2.
0)2(
y .
Исследуем знаки второй производной в промежутках (2–
; 2), (2; 2+), где >0.
Выберем
настолько малым, чтобы -окрестность точки 2
0
x была частью области
определения, не включала бы точек разрыва и точек (отличных от 2
0
x ), где 0)(
0
xf
или не существует

Страницы